샘플값제어

전기기사 필기 2022년 2회 65번

기본 Z 변환 공식들이 분자에 $z$를 포함하는 형태($\frac{z}{z-a}$)를 가지므로, 역변환 시 이 형태를 쉽게 만들기 위해 $F(z)/z$로 전개합니다.

단위 계단 함수인 $u(t)$이며, 연속 시간 함수로 표현할 때 크기가 $1$인 상수 함수가 됩니다.

Q문제

F (z) = \frac{( 1 - e ^{- a T} ) z}{( z - 1 ) ( z - e ^{- a T} )}

의 역 z 변환은?

유사 문제 링크

선택지 분석

t \cdot e^{- a t}

t \cdot e^{- a t}

의 Z 변환은

\frac{T z e ^{- a T}}{( z - e ^{- a T} ) ^{2}}

입니다.

a^{t} \cdot e^{- a t}

a^{t} \cdot e^{- a t}

는 주어진 Z 변환의 역변환 형태와 무관한 수식입니다.

1 + e^{- a t}

1 + e^{- a t}

의 Z 변환은

\frac{z}{z - 1} + \frac{z}{z - e ^{- a T}}

이므로 가운데 부호가 다릅니다.

1 - e^{- a t}

주어진 Z 변환 함수를 부분분수로 전개한 후 역변환하면

1 - e^{- a t}

가 됩니다.

•

Step 1.

F (z)

를 부분분수로 전개하기 위해 양변을

z

로 나눕니다.

\frac{F ( z )}{z} = \frac{1 - e ^{- a T}}{( z - 1 ) ( z - e ^{- a T} )} = \frac{A}{z - 1} + \frac{B}{z - e ^{- a T}}

•

Step 2. 부분분수의 계수

A, B

를 구합니다.

A = \frac{1 - e ^{- a T}}{z - e ^{- a T}}_{z = 1} = \frac{1 - e ^{- a T}}{1 - e ^{- a T}} = 1

B = \frac{1 - e ^{- a T}}{z - 1}_{z = e^{- a T}} = \frac{1 - e ^{- a T}}{e ^{- a T} - 1} = - 1

•

Step 3.

F (z)

를 다시 정리하고 역 Z 변환을 수행합니다.

F (z) = \frac{z}{z - 1} - \frac{z}{z - e ^{- a T}}

f (t) = Z^{- 1} {\frac{z}{z - 1}} - Z^{- 1} {\frac{z}{z - e ^{- a T}}} = 1 - e^{- a t}

역 Z 변환을 할 때 왜

F (z) / z

형태로 부분분수를 전개하나요?

기본 Z 변환 공식들이 분자에

z

를 포함하는 형태(

\frac{z}{z - a}

)를 가지므로, 역변환 시 이 형태를 쉽게 만들기 위해

F (z) / z

로 전개합니다.

\frac{z}{z - 1}

의 역 Z 변환은 무엇인가요?

단위 계단 함수인

u (t)

이며, 연속 시간 함수로 표현할 때 크기가

1

인 상수 함수가 됩니다.