메이슨의 이득 공식에서 분모 $\Delta$는 어떻게 계산하나요?

$\Delta = 1 - (모든 개별 루프 이득의 합) + (서로 접촉하지 않는 2개 루프 이득 곱의 합) - (서로 접촉하지 않는 3개 루프 이득 곱의 합) + \cdots$ 으로 계산합니다.

블록선도와 신호흐름 선도

전기기사 필기 2022년 1회 63번

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

63. 그림의 신호흐름선도에서 전달함수

\frac{C ( s )}{R ( s )}

는?

유사 문제 링크

2020-1-q64 2009-1-q72 2009-1-q76 2008-1-q69 2019-2-q62

선택지 분석

\frac{a ^{3}}{( 1 - ab ) ^{3}}

오답 함정 분석

서로 접촉하지 않는 루프의 이득을 고려하지 않고 분모를 잘못 계산한 오답입니다.

\frac{a ^{3}}{1 - 3 ab + a ^{2} b ^{2}}

오답 함정 분석

서로 접촉하지 않는 2개의 루프 조합의 개수를 1개로 잘못 계산한 오답입니다.

\frac{a ^{3}}{1 - 3 ab}

오답 함정 분석

서로 접촉하지 않는 루프의 이득을 분모에 전혀 반영하지 않은 오답입니다.

\frac{a ^{3}}{1 - 3 ab + 2 a ^{2} b ^{2}}

정답 상세 해설

메이슨의 이득 공식을 이용하여 전달함수를 구합니다.

•

Step 1: 전향 경로 이득(

P_{k}

)을 구합니다. 입력

R (s)

에서 출력

C (s)

로 가는 전향 경로는 1개이며, 그 이득은

P_{1} = 1 \cdot a \cdot a \cdot 1 \cdot a \cdot 1 = a^{3}

입니다.

•

Step 2: 개별 루프 이득(

L_{m}

)을 구합니다. 신호흐름선도에는 3개의 루프가 존재하며, 각각의 이득은

L_{1} = ab

L_{2} = ab

L_{3} = ab

입니다.

•

Step 3: 서로 접촉하지 않는 루프의 조합을 찾습니다.

L_{1}

과

L_{2}

는 노드를 공유하여 접촉하지만,

L_{1}

과

L_{3}

, 그리고

L_{2}

와

L_{3}

는 서로 접촉하지 않습니다. 따라서 2개씩 접촉하지 않는 루프 이득의 곱은

L_{1} L_{3} = a^{2} b^{2}

L_{2} L_{3} = a^{2} b^{2}

입니다.

•

Step 4: 메이슨의 공식 분모(

Δ

)를 계산합니다.

Δ = 1 - (L_{1} + L_{2} + L_{3}) + (L_{1} L_{3} + L_{2} L_{3}) = 1 - (ab + ab + ab) + (a^{2} b^{2} + a^{2} b^{2}) = 1 - 3 ab + 2 a^{2} b^{2}

입니다.

•

Step 5: 전향 경로와 접촉하지 않는 루프가 없으므로

Δ_{1} = 1

입니다. 따라서 전체 전달함수는

\frac{C ( s )}{R ( s )} = \frac{P _{1} Δ _{1}}{Δ} = \frac{a ^{3}}{1 - 3 ab + 2 a ^{2} b ^{2}}

입니다.

자주 묻는 질문

서로 접촉하지 않는 루프란 무엇인가요?

신호흐름선도에서 공통된 노드(결절점)를 전혀 공유하지 않는 두 개 이상의 루프를 의미합니다.

메이슨의 이득 공식에서 분모

Δ

는 어떻게 계산하나요?

Δ = 1 - (모든개별루프이득의합) + (서로접촉하지않는 2 개루프이득곱의합) - (서로접촉하지않는 3 개루프이득곱의합) + \dots

으로 계산합니다.

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