정전용량

전기기사 필기 2022년 1회 15번

$d$가 $a$보다 매우 큰 경우($d \gg a$), $d-a \approx d$로 근사할 수 있으므로 정전용량은 $C \approx \frac{\pi\epsilon_0}{\ln \frac{d}{a}}$로 간략화됩니다.

Q문제

진공 중 반지름이

a (m)

인 무한길이의 원통 도체 2개가 간격

d (m)

로 평행하게 배치되어 있다. 두 도체 사이의 정전용량(

C

)을 나타낸 것으로 옳은 것은?

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{π ϵ _{0}}{l n \frac{d - a}{a}}

정답과 수식이 동일하지만, 데이터 구조상 오답으로 분류된 선지입니다.

\frac{π ϵ _{0}}{l n \frac{d - a}{a}}

평행하게 배치된 두 원통 도체 사이의 단위 길이당 정전용량은

\frac{π ϵ _{0}}{l n \frac{d - a}{a}}

입니다.

•

Step 1: 반지름이

a

이고 중심 간격이

d

인 두 평행 원통 도체에 각각 선전하 밀도

+ λ, - λ

가 대전되어 있다고 가정합니다.

•

Step 2: 한 도체 표면에서 다른 도체 표면까지의 전위차

V

를 구하기 위해 전계를 적분하면,

V = \frac{λ}{π ϵ _{0}} ln \frac{d - a}{a}

가 됩니다.

•

Step 3: 정전용량

C = \frac{λ}{V}

공식을 적용하면, 최종적으로

C = \frac{π ϵ _{0}}{l n \frac{d - a}{a}}

가 도출됩니다.

\frac{π ϵ _{0}}{l n \frac{a}{d - a}}

로그 함수의 진수 부분에서 분모와 분자의 위치가 뒤바뀐 잘못된 수식입니다.

\frac{π ϵ _{0}}{l n \frac{a}{d - a}}

로그 함수의 진수 부분에서 분모와 분자의 위치가 뒤바뀐 잘못된 수식입니다.

평행 원통 도체의 정전용량 공식에서 도체 간격

d

가 반지름

a

보다 매우 클 때는 수식이 어떻게 되나요?

d

가

a

보다 매우 큰 경우(

d ≫ a

d - a \approx d

로 근사할 수 있으므로 정전용량은

C \approx \frac{π ϵ _{0}}{l n \frac{d}{a}}

로 간략화됩니다.

두 원통 도체 사이의 정전용량을 구할 때 왜 로그 함수가 포함되나요?

무한 길이 원통 도체에 의한 전계의 세기가 거리에 반비례하므로, 이를 적분하여 전위차를 구하는 과정에서 자연로그(

ln

)가 발생하기 때문입니다.