공통 전위 공식에서 $4\pi\varepsilon_0$는 왜 생략되었나요?

분자와 분모에 모두 $4\pi\varepsilon_0$가 포함되어 있어 약분되기 때문입니다. 따라서 반지름과 전위만으로 계산이 가능합니다.

도체계의 전하 및 전위분포

전기기사 필기 2011년 1회 9번

Q문제

공기 중에서

5 V

10 V

로 대전된 반지름

2 c m

4 c m

의 2개의 구를 가는 철사로 접속했을 때 공통 전위는 몇

[V]

인가?

유사 문제 링크

6.25

반지름과 전위의 관계를 잘못 적용하여 계산한 오답입니다.

7.5

두 전위의 단순 산술 평균((5+10)/2 = 7.5)을 구한 오답입니다.

8.33

두 도체구를 가는 철사로 연결하면 전하가 이동하여 두 구의 전위가 같아지는 공통 전위 상태가 됩니다.

•

Step 1: 각 구의 정전용량과 초기 전하량 계산 - 반지름이

r

인 독립 구의 정전용량은

C = 4 π ε_{0} r

입니다. - 첫 번째 구의 전하량

Q_{1} = C_{1} V_{1} = 4 π ε_{0} r_{1} V_{1}

입니다. - 두 번째 구의 전하량

Q_{2} = C_{2} V_{2} = 4 π ε_{0} r_{2} V_{2}

입니다.

•

Step 2: 접속 후 전체 전하량과 전체 정전용량 계산 - 전체 전하량

Q = Q_{1} + Q_{2} = 4 π ε_{0} (r_{1} V_{1} + r_{2} V_{2})

입니다. - 전체 정전용량

C_{t o t a l} = C_{1} + C_{2} = 4 π ε_{0} (r_{1} + r_{2})

입니다.

•

Step 3: 공통 전위 도출 - 공통 전위

V = \frac{Q}{C _{t o t a l}} = \frac{r _{1} V _{1} + r _{2} V _{2}}{r _{1} + r _{2}}

입니다. - 주어진 값(

r_{1} = 2

V_{1} = 5

r_{2} = 4

V_{2} = 10

)을 대입하면

V = \frac{2 \times 5 + 4 \times 10}{2 + 4} = \frac{50}{6} \approx 8.33 [V]

가 됩니다.

연결 후에도 큰 전위가 그대로 유지된다고 착각한 오답입니다.

두 구를 연결했을 때 왜 전위가 같아지나요?

도체끼리 연결되면 전위차가 0이 될 때까지 전하가 이동하기 때문입니다. 이를 등전위 상태라고 합니다.

공통 전위 공식에서

4 π ε_{0}

는 왜 생략되었나요?

분자와 분모에 모두

4 π ε_{0}

가 포함되어 있어 약분되기 때문입니다. 따라서 반지름과 전위만으로 계산이 가능합니다.