도체계의 정전에너지

전기기사 필기 2003년 1회 12번

Q: 전위가 주어졌을 때 전계는 어떻게 구하나요?

전계는 전위의 기울기(Gradient)에 음의 부호를 붙여 구합니다. 즉, $\vec{E} = -\nabla V$ 공식을 사용하여 각 좌표축 방향으로 편미분하여 계산합니다.

Q: 정전에너지 밀도 공식은 무엇인가요?

진공 중에서의 정전에너지 밀도 $w$는 $w = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$ $[J/m^3]$ 입니다. 여기서 $\varepsilon_0$는 진공의 유전율, $E$는 전계의 세기입니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 도체계
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

자유공간 중에서 전위

V = x y z [V]

일 때

0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1

인 입방체에 존재하는 정전에너지는 몇

J

인가?

유사 문제 링크

2017-1-q16 2016-1-q11 2011-1-q10 2011-1-q9 2003-2-q11

선택지 분석

\frac{1}{6} ε_{0}

정답 상세 해설

주어진 전위 분포로부터 전계의 세기를 구하고, 이를 통해 정전에너지 밀도를 적분하여 전체 정전에너지를 계산합니다.

•

Step 1: 전계의 세기

E

계산 전계는 전위의 기울기(Gradient)에 음의 부호를 취한 값입니다.

E = - \nabla V = - (\frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k})

V = x y z

이므로 편미분하면 다음과 같습니다.

E = - (y z \hat{i} + z x \hat{j} + x y \hat{k})

•

Step 2: 전계의 크기 제곱

E^{2}

계산

E^{2} = ∣ E ∣^{2} = (y z)^{2} + (z x)^{2} + (x y)^{2} = y^{2} z^{2} + z^{2} x^{2} + x^{2} y^{2}

•

Step 3: 정전에너지

W

계산 정전에너지 밀도

w = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}

이며, 전체 에너지는 체적 적분으로 구합니다.

W = \int_{V} w d v = \frac{1}{2} ε_{0} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (y^{2} z^{2} + z^{2} x^{2} + x^{2} y^{2}) d x d y d z

각 항을 적분하면 다음과 같습니다.

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} y^{2} z^{2} d x d y d z = [x]_{0}^{1} [\frac{y ^{3}}{3}]_{0}^{1} [\frac{z ^{3}}{3}]_{0}^{1} = 1 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}

대칭성에 의해 나머지 두 항의 적분값도 각각

\frac{1}{9}

입니다. 따라서 적분 결과는

\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

입니다. 최종적으로

W = \frac{1}{2} ε_{0} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} ε_{0} [J]

입니다.

\frac{1}{5} ε_{0}

오답 함정 분석

전계의 크기 제곱을 적분하는 과정에서 적분 상수를 잘못 계산하여 도출된 오답입니다.

\frac{1}{4} ε_{0}

오답 함정 분석

정전에너지 밀도 공식의 계수나 체적 적분 결과를 잘못 적용하여 도출된 오답입니다.

\frac{1}{3} ε_{0}

오답 함정 분석

정전에너지 밀도 공식에서 1/2 계수를 누락하고 계산하여 도출된 오답입니다.

자주 묻는 질문

전위가 주어졌을 때 전계는 어떻게 구하나요?

전계는 전위의 기울기(Gradient)에 음의 부호를 붙여 구합니다. 즉,

E = - \nabla V

공식을 사용하여 각 좌표축 방향으로 편미분하여 계산합니다.

정전에너지 밀도 공식은 무엇인가요?

진공 중에서의 정전에너지 밀도

w

는

w = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}

[J / m^{3}]

입니다. 여기서

ε_{0}

는 진공의 유전율,

E

는 전계의 세기입니다.

전체 정전에너지는 어떻게 계산하나요?

구해진 정전에너지 밀도를 주어진 공간의 체적에 대해 3중 적분하여 전체 정전에너지를 계산합니다.

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