라플라스변환
전기기사 필기 2021년 3회 75번
| 과목 / 챕터 | 회로이론 및 제어공학 / 회로이론 |
|---|---|
| 인지 유형 | calculation |
| 난이도 | Level 3 |
Q문제
그림과 같은 파형의 라플라스 변환은?
선택지 분석
1
오답 함정 분석
t=2 이후의 파형을 상쇄하여 0으로 만드는 항이 누락된 수식입니다.
2
오답 함정 분석
t=1에서의 기울기 변화를 반영하는 항이 누락되고 잘못된 시간 지연이 적용된 수식입니다.
3
오답 함정 분석
시간 지연 정리에 따른 지수항의 부호가 양수로 잘못 표기된 수식입니다.
정답 상세 해설
주어진 삼각형 파형을 단위 계단 함수와 램프 함수로 표현한 후 라플라스 변환을 적용하면 \frac{1}{s^2}(1-2e^{-s}+e^{-2s})가 됩니다.
•
Step 1: 파형 f(t)를 수식으로 표현합니다. t=0에서 기울기가 1인 램프 함수 t \cdot u(t)가 시작됩니다. t=1에서 기울기가 -1로 바뀌어야 하므로, 기울기가 -2인 램프 함수 -2(t-1) \cdot u(t-1)을 더해줍니다. t=2에서 기울기가 0이 되어야 하므로, 기울기가 1인 램프 함수 (t-2) \cdot u(t-2)를 더해줍니다. 따라서 f(t) = t \cdot u(t) - 2(t-1) \cdot u(t-1) + (t-2) \cdot u(t-2)입니다.
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Step 2: 각 항에 대해 라플라스 변환을 수행합니다. 램프 함수의 라플라스 변환은 \mathcal{L}\{t \cdot u(t)\} = \frac{1}{s^2}입니다. 시간 지연 정리에 의해 \mathcal{L}\{f(t-a) \cdot u(t-a)\} = e^{-as}F(s)가 성립합니다.
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Step 3: 전체 함수의 라플라스 변환을 계산합니다. F(s) = \frac{1}{s^2} - 2\frac{1}{s^2}e^{-s} + \frac{1}{s^2}e^{-2s} = \frac{1}{s^2}(1 - 2e^{-s} + e^{-2s})입니다.
자주 묻는 질문
Q.
램프 함수(경사 함수)의 라플라스 변환은 어떻게 되나요?
램프 함수 f(t) = t의 라플라스 변환은 \frac{1}{s^2}입니다.
Q.
시간 지연 정리는 무엇인가요?
시간 영역에서 함수가 a만큼 지연된 f(t-a)u(t-a)의 라플라스 변환은 원래 함수의 라플라스 변환 F(s)에 e^{-as}를 곱한 것과 같습니다.