라플라스변환

전기기사 필기 2020년 3회 80번

네, 적용됩니다. $n=0$일 때 $f(t)=t^0=1$이며 공식에 대입하면 $0!/s^{0+1} = 1/s$가 되어 단위 계단 함수의 변환 결과와 일치합니다.

라플라스 변환 정의에 따른 적분 과정에서 $t^n$을 끝까지 미분하여 상수로 만드는 과정에서 분모에 $s$가 $n+1$번 곱해지기 때문입니다.

Q문제

f (t) = t^{n}

의 라플라스 변환 식은?

유사 문제 링크

선택지 분석

n / s^{n}

분자가 계승(factorial) 형태가 아니며 분모의 지수가 n+1이 아닌 n으로 잘못 제시되었습니다.

(n + 1) / s^{n + 1}

분자가 n의 계승인 n!이 아닌 n+1로 잘못 제시되었습니다.

n! / s^{n + 1}

시간 영역의 멱함수

f (t) = t^{n}

을 라플라스 변환하면

F (s) = \frac{n !}{s ^{n + 1}}

이 됩니다.

•

Step 1: 라플라스 변환의 정의식

F (s) = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} f (t) d t

에

f (t) = t^{n}

을 대입합니다.

•

Step 2: 부분적분법을 n번 반복하여 적용하면 분자는

n \times (n - 1) \times \dots \times 1

의 형태인

n!

이 유도됩니다.

•

Step 3: 적분 과정에서 분모에는

s

가 반복적으로 곱해져 최종적으로

s^{n + 1}

의 형태를 갖게 됩니다.

(n + 1) / s^{n!}

분자가 n!이 아니며 분모의 지수가 n+1이 아닌 n!으로 잘못 제시되었습니다.

n이 0인 경우에도 이 공식이 적용되나요?

네, 적용됩니다.

n = 0

일 때

f (t) = t^{0} = 1

이며 공식에 대입하면

0! / s^{0 + 1} = 1/ s

가 되어 단위 계단 함수의 변환 결과와 일치합니다.

분모의 지수가 왜 n이 아니라 n+1인가요?

라플라스 변환 정의에 따른 적분 과정에서

t^{n}

을 끝까지 미분하여 상수로 만드는 과정에서 분모에

s

가

n + 1

번 곱해지기 때문입니다.