라플라스변환

전기기사 필기 2021년 2회 79번

Q문제

그림과 같은 함수의 라플라스 변환은?

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{1}{s} (e^{s} - e^{2 s})

시간 지연 정리에 의한 라플라스 변환 시 지수항의 부호는 음수여야 합니다.

\frac{1}{s} (e^{- s} - e^{- 2 s})

주어진 그래프는 t=1에서 1로 상승하고 t=2에서 0으로 하강하는 펄스 함수입니다.

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Step 1: 주어진 함수 f(t)를 단위 계단 함수 u(t)를 이용하여 수식으로 표현합니다. f(t) = u(t-1) - u(t-2) 입니다.

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Step 2: 시간 지연 정리에 따라 단위 계단 함수 u(t-a)의 라플라스 변환은 (1/s)e^{-as} 입니다.

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Step 3: 각 항을 라플라스 변환하면 L{u(t-1)} = (1/s)e^{-s} 이고, L{u(t-2)} = (1/s)e^{-2s} 입니다.

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Step 4: 따라서 L{f(t)} = (1/s)e^{-s} - (1/s)e^{-2s} = (1/s)(e^{-s} - e^{-2s}) 가 됩니다.

\frac{1}{s} (e^{- 2 s} - e^{- s})

이 수식은 u(t-2) - u(t-1)의 라플라스 변환 결과로, 주어진 그래프와 반대되는 형태입니다.

\frac{1}{s} (e^{- s} + e^{- 2 s})

이 수식은 u(t-1) + u(t-2)의 라플라스 변환 결과로, t=2 이후에 값이 2가 되는 함수의 변환입니다.

단위 계단 함수란 무엇인가요?

단위 계단 함수 u(t)는 t<0일 때 0이고, t>=0일 때 1의 값을 가지는 함수입니다. 시간 지연을 표현할 때 유용하게 사용됩니다.

시간 지연 정리는 어떻게 적용되나요?

어떤 함수 f(t)가 a만큼 지연된 f(t-a)u(t-a)의 라플라스 변환은 원래 함수의 라플라스 변환 F(s)에 e^{-as}를 곱한 e^{-as}F(s)가 됩니다.