샘플값제어

전기기사 필기 2021년 2회 69번

Q: Z변환에서 $T$는 무엇을 의미하나요?

$T$는 연속적인 시간 신호를 일정한 간격으로 추출하여 디지털 신호로 변환할 때의 시간 간격인 표본화 주기(Sampling Period)를 의미합니다.

Q: 라플라스 변환과 Z변환 사이에는 어떤 관계가 있나요?

라플라스 변환의 복소변수 $s$와 Z변환의 변수 $z$ 사이에는 $z = e^{sT}$라는 변환 관계가 존재합니다.

Q: 지수함수의 지수가 양수인 $e^{at}$의 Z변환은 어떻게 되나요?

지수부의 부호만 반대가 되어 $F(z) = \frac{z}{z - e^{aT}}$가 됩니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	memory
난이도	Level 2

Q문제

함수

f (t) = e^{- a t}

의 z변환 함수

F (z)

는?

유사 문제 링크

2009-3-q67 2020-3-q64 2009-1-q74 2009-1-q77 2010-3-q64

선택지 분석

\frac{2 z}{z - e ^{a T}}

오답 함정 분석

분자의 계수가 2로 잘못 표기되었으며, 지수부의 부호가 양수(+)로 잘못 적용되었습니다.

\frac{1}{z + e ^{a T}}

오답 함정 분석

Z변환의 기본 형태인 분자 z항이 누락되었으며, 분모의 부호와 지수부의 부호가 모두 틀린 형태입니다.

\frac{z}{z + e ^{- a T}}

오답 함정 분석

분모의 상수항 부호가 음수(-)가 아닌 양수(+)로 잘못 표기되었습니다.

\frac{z}{z - e ^{- a T}}

정답 상세 해설

지수함수

e^{- a t}

를 표본화 주기

T

에 따라 이산화하면

f (n T) = e^{- an T}

가 됩니다.

•

Step 1: Z변환의 정의식

F (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} f (n T) z^{- n}

에 함수를 대입합니다.

F (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- an T} z^{- n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (e^{- a T} z^{- 1})^{n}

이 성립합니다.

•

Step 2: 위 식은 공비가

e^{- a T} z^{- 1}

인 무한 등비급수이므로, 합의 공식

\frac{1}{1 - r}

을 적용하면

F (z) = \frac{1}{1 - e ^{- a T} z ^{- 1}}

이 됩니다.

•

Step 3: 식을 정리하기 위해 분모와 분자에

z

를 곱하면 최종적으로

F (z) = \frac{z}{z - e ^{- a T}}

를 얻습니다.

자주 묻는 질문

Z변환에서

T

는 무엇을 의미하나요?

T

는 연속적인 시간 신호를 일정한 간격으로 추출하여 디지털 신호로 변환할 때의 시간 간격인 표본화 주기(Sampling Period)를 의미합니다.

라플라스 변환과 Z변환 사이에는 어떤 관계가 있나요?

라플라스 변환의 복소변수

s

와 Z변환의 변수

z

사이에는

z = e^{s T}

라는 변환 관계가 존재합니다.

지수함수의 지수가 양수인

e^{a t}

의 Z변환은 어떻게 되나요?

지수부의 부호만 반대가 되어

F (z) = \frac{z}{z - e ^{a T}}

가 됩니다.

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