라플라스변환

전기기사 필기 2021년 1회 73번

복잡한 유리함수 형태의 $F(s)$를 기본 라플라스 변환표에 있는 간단한 형태(예: $\frac{1}{s}$, $\frac{1}{s+a}$)의 합으로 쪼개어 역변환 공식을 쉽게 적용하기 위함입니다.

분모의 각 인수를 0으로 만드는 $s$ 값을 양변에 대입하여 미지수를 구하는 수치대입법(헤비사이드 전개법)을 사용하면 빠르고 정확하게 계수를 구할 수 있습니다.

Q문제

F (s) = \frac{2 s ^{2} + s - 3}{s ( s ^{2} + 4 s + 3 )}

의 라플라스 역변환은?

유사 문제 링크

선택지 분석

1 - e^{- t} + 2 e^{- 3 t}

부분분수 전개 과정에서 상수항과 첫 번째 지수항의 부호를 반대로 계산한 오답입니다.

1 - e^{- t} - 2 e^{- 3 t}

부분분수 전개 과정에서 모든 항의 부호를 잘못 계산하여 도출된 오답입니다.

- 1 - e^{- t} - 2 e^{- 3 t}

부분분수 전개 과정에서 두 번째와 세 번째 지수항의 부호를 음수로 잘못 계산한 오답입니다.

- 1 + e^{- t} + 2 e^{- 3 t}

주어진 함수

F (s)

를 부분분수로 전개한 후 기본 라플라스 역변환 공식을 적용하여

f (t) = - 1 + e^{- t} + 2 e^{- 3 t}

를 도출합니다.

•

Step 1: 분모를 인수분해합니다.

F (s) = \frac{2 s ^{2} + s - 3}{s ( s ^{2} + 4 s + 3 )} = \frac{2 s ^{2} + s - 3}{s ( s + 1 ) ( s + 3 )}

•

Step 2: 부분분수로 전개하여 미지수를 구합니다.

F (s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 1} + \frac{C}{s + 3}

로 둡니다. 양변에 분모를 곱하면

2 s^{2} + s - 3 = A (s + 1) (s + 3) + B s (s + 3) + C s (s + 1)

입니다.

s = 0

대입:

- 3 = 3 A \to A = - 1

s = - 1

대입:

2 (- 1)^{2} + (- 1) - 3 = B (- 1) (2) \to - 2 = - 2 B \to B = 1

s = - 3

대입:

2 (- 3)^{2} + (- 3) - 3 = C (- 3) (- 2) \to 12 = 6 C \to C = 2

따라서

F (s) = \frac{- 1}{s} + \frac{1}{s + 1} + \frac{2}{s + 3}

입니다.

•

Step 3: 각 항에 라플라스 역변환을 적용합니다.

L^{- 1} {\frac{1}{s}} = 1

L^{- 1} {\frac{1}{s + a}} = e^{- a t}

공식을 이용합니다.

f (t) = - 1 + e^{- t} + 2 e^{- 3 t}

가 됩니다.

라플라스 역변환을 할 때 부분분수 전개는 왜 필요한가요?

복잡한 유리함수 형태의

F (s)

를 기본 라플라스 변환표에 있는 간단한 형태(예:

\frac{1}{s}

\frac{1}{s + a}

)의 합으로 쪼개어 역변환 공식을 쉽게 적용하기 위함입니다.

부분분수 전개 시 미지수 계수는 어떻게 구하나요?

분모의 각 인수를 0으로 만드는

s

값을 양변에 대입하여 미지수를 구하는 수치대입법(헤비사이드 전개법)을 사용하면 빠르고 정확하게 계수를 구할 수 있습니다.