샘플값제어

전기기사 필기 2021년 1회 68번

함수 $(1-z^{-1})E(z)$의 모든 극점이 z 평면의 단위 원 내부에 존재해야 최종값 정리를 안정적으로 적용할 수 있습니다.

$\lim_{z \to 1} (z-1)E(z)$ 형태로 계산해도 결과는 동일합니다. 이는 $(1-z^{-1}) = (z-1)/z$에서 z가 1로 갈 때 분모가 1이 되기 때문입니다.

Q문제

e (t)

의

z

변환을

E (z)

라고 했을 때

e (t)

의 최종값

e (\infty)

은?

유사 문제 링크

선택지 분석

lim_{z \to 1} E (z)

Z변환의 최종값 정리에서 필수적인 연산 요소인

(1 - z^{- 1})

항이 누락되었습니다.

lim_{z \to \infty} E (z)

극한값이 무한대로 가는 경우는 최종값 정리가 아닌 초기값 정리와 관련된 표현입니다.

lim_{z \to 1} (1 - z^{- 1}) E (z)

Z변환의 최종값 정리는 시간 영역의 무한대 시점 값을 z 평면의 단위 원상 지점인 z=1에서의 극한으로 구하는 정리입니다.

•

Step 1: 라플라스 변환의 최종값 정리인

lim_{s \to 0} s E (s)

를 z 평면으로 변환하기 위해

z = e^{s T}

관계를 적용합니다.

•

Step 2: s가 0으로 수렴할 때 z는

e^{0} = 1

로 수렴하게 됨을 확인합니다.

•

Step 3: 연속 제어계의 s 연산자에 대응하는 이산 제어계의 연산자

(1 - z^{- 1})

을 E(z)에 곱하여 극한을 취하면

lim_{z \to 1} (1 - z^{- 1}) E (z)

식이 도출됩니다.

lim_{z \to \infty} (1 - z^{- 1}) E (z)

최종값 정리는 z가 1로 수렴해야 하며, 무한대로 수렴하는 설정은 정의에 어긋납니다.

Z변환 최종값 정리를 사용하기 위한 시스템의 안정성 조건은 무엇인가요?

함수

(1 - z^{- 1}) E (z)

의 모든 극점이 z 평면의 단위 원 내부에 존재해야 최종값 정리를 안정적으로 적용할 수 있습니다.

식에서

(1 - z^{- 1})

대신 (z-1)을 사용해도 결과가 같나요?

lim_{z \to 1} (z - 1) E (z)

형태로 계산해도 결과는 동일합니다. 이는

(1 - z^{- 1}) = (z - 1) / z

에서 z가 1로 갈 때 분모가 1이 되기 때문입니다.