샘플값제어

전기기사 필기 2010년 1회 61번

Q: Z 변환에서 무한 등비급수의 합 공식은 어떻게 적용되나요?

Z 변환 식 $\sum_{n=0}^{\infty} (e^{-aT}z^{-1})^n$은 공비가 $e^{-aT}z^{-1}$인 무한 등비급수입니다. 수렴 조건 $|e^{-aT}z^{-1}| < 1$을 만족할 때, 합은 $\frac{1}{1-공비}$가 되어 $\frac{1}{1-e^{-aT}z^{-1}}$로 계산됩니다.

Q: 문제의 보기에서 샘플링 주기 $T$ 대신 $t$가 사용된 이유는 무엇인가요?

엄밀하게는 샘플링 주기 $T$를 사용하여 $e^{-aT}$로 표현해야 하지만, 일부 기출문제에서는 관행적으로 변수 $t$를 그대로 사용하여 표기하기도 합니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 1

Q문제

다음 중

f (t) = e^{- a t}

의 Z 변환은?

유사 문제 링크

2010-1-q62 2010-1-q67 2020-1-q70 2022-1-q66 2022-1-q64

선택지 분석

\frac{1}{z - e ^{- a t}}

오답 함정 분석

무한 등비급수의 합을 구한 후 분모와 분자에

z

를 곱하는 과정이 누락되어 분자에

z

가 없는 형태입니다.

\frac{1}{z + e ^{- a t}}

오답 함정 분석

분자에

z

가 누락되었으며, 분모의 지수항 부호가 잘못 적용된 형태입니다.

\frac{z}{z - e ^{- a t}}

정답 상세 해설

f (t) = e^{- a t}

의 Z 변환은

\frac{z}{z - e ^{- a t}}

입니다.

•

Step 1: 연속 시간 함수

f (t) = e^{- a t}

를 샘플링 주기

T

로 이산화하면

f (n T) = e^{- an T}

가 됩니다.

•

Step 2: 이산 신호

f (n T)

의 Z 변환 정의

F (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} f (n T) z^{- n}

에 대입합니다.

•

Step 3:

F (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- an T} z^{- n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (e^{- a T} z^{- 1})^{n}

이 됩니다.

•

Step 4: 무한 등비급수의 합 공식을 적용하면

F (z) = \frac{1}{1 - e ^{- a T} z ^{- 1}} = \frac{z}{z - e ^{- a T}}

가 됩니다.

•

Step 5: 문제의 선지는 샘플링 주기

T

를

t

로 관행적으로 표기한 형태이므로

\frac{z}{z - e ^{- a t}}

가 정답이 됩니다.

\frac{z}{z + e ^{- a t}}

오답 함정 분석

분모의 지수항 부호가 잘못 적용된 형태입니다.

자주 묻는 질문

Z 변환에서 무한 등비급수의 합 공식은 어떻게 적용되나요?

Z 변환 식

\sum_{n = 0}^{\infty} (e^{- a T} z^{- 1})^{n}

은 공비가

e^{- a T} z^{- 1}

인 무한 등비급수입니다. 수렴 조건

∣ e^{- a T} z^{- 1} ∣ < 1

을 만족할 때, 합은

\frac{1}{1 - 공비}

가 되어

\frac{1}{1 - e ^{- a T} z ^{- 1}}

로 계산됩니다.

문제의 보기에서 샘플링 주기

T

대신

t

가 사용된 이유는 무엇인가요?

엄밀하게는 샘플링 주기

T

를 사용하여

e^{- a T}

로 표현해야 하지만, 일부 기출문제에서는 관행적으로 변수

t

를 그대로 사용하여 표기하기도 합니다.

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