상태공간해석

전기기사 필기 2010년 1회 62번

특성방정식은 행렬 $A$와 단위행렬 $I$, 그리고 스칼라 $\lambda$에 대해 $|A - \lambda I| = 0$을 만족하는 식을 의미합니다. 2x2 행렬의 경우 $ad - bc$ 공식을 이용하여 행렬식을 계산합니다.

Q문제

상태 방정식

\frac{d}{d t} x (t) = A x (t) + b u (t)

에서

A = [- 6 2 7 - 1]

이라면 A의 고유값은?

유사 문제 링크

선택지 분석

1, -8

행렬 A의 고유값은 특성방정식

∣ A - λ I ∣ = 0

을 만족하는

λ

의 값입니다.

•

Step 1: 특성방정식을 세웁니다.

∣ A - λ I ∣ = - 6 - λ 2 7 - 1 - λ = 0

•

Step 2: 행렬식을 계산합니다.

(- 6 - λ) (- 1 - λ) - (7 \times 2) = 0

(λ + 6) (λ + 1) - 14 = 0

λ^{2} + 7 λ + 6 - 14 = 0

λ^{2} + 7 λ - 8 = 0

•

Step 3: 2차 방정식을 풀어 고유값을 구합니다.

(λ - 1) (λ + 8) = 0

따라서 고유값

λ

는 1과 -8입니다.

1, -5

특성방정식의 상수항 계산을 잘못하여 도출된 오답입니다.

2, -8

특성방정식의 인수분해 과정에서 부호나 계수를 혼동하여 도출된 오답입니다.

2, -5

행렬식 계산 시 대각원소의 곱과 비대각원소의 곱의 차를 잘못 계산하여 도출된 오답입니다.

고유값은 무엇을 의미하나요?

고유값은 선형 변환 시 방향은 변하지 않고 크기만 변하는 벡터(고유벡터)의 크기 변화 비율을 의미합니다. 제어공학에서는 시스템의 안정도를 판별하는 중요한 지표로 사용됩니다.

특성방정식은 어떻게 구하나요?

특성방정식은 행렬

A

와 단위행렬

I

, 그리고 스칼라

λ

에 대해

∣ A - λ I ∣ = 0

을 만족하는 식을 의미합니다. 2x2 행렬의 경우

a d - b c

공식을 이용하여 행렬식을 계산합니다.