상태공간해석

전기기사 필기 2021년 1회 66번

Q문제

블록선도와 같은 단위 피드백 제어시스템의 상태방정식은? (단, 상태변수는

x_{1} (t) = c (t)

x_{2} (t) = \frac{d}{d t} c (t)

로 한다.)

유사 문제 링크

선택지 분석

\overset{x}{˙}_{1} (t) = x_{2} (t)

\overset{x}{˙}_{2} (t) = - 5 x_{1} (t) - x_{2} (t) + 5 r (t)

주어진 블록선도의 전달함수를 통해 미분방정식을 도출하고, 이를 상태변수로 치환하여 상태방정식을 구합니다.

•

Step 1: 블록선도에서 입력

R (s)

와 출력

C (s)

의 관계식을 구합니다. 오차

E (s) = R (s) - C (s)

이고, 출력

C (s) = \frac{5}{s ( s + 1 )} E (s)

입니다. 이를 정리하면

s (s + 1) C (s) = 5 (R (s) - C (s))

가 됩니다.

•

Step 2: 식을 전개하고 역라플라스 변환을 통해 미분방정식을 도출합니다.

s^{2} C (s) + s C (s) + 5 C (s) = 5 R (s)

를 역라플라스 변환하면

\frac{d ^{2} c ( t )}{d t ^{2}} + \frac{d c ( t )}{d t} + 5 c (t) = 5 r (t)

가 됩니다.

•

Step 3: 주어진 상태변수

x_{1} (t) = c (t)

x_{2} (t) = \frac{d c ( t )}{d t}

를 미분방정식에 대입합니다.

\overset{x}{˙}_{1} (t) = x_{2} (t)

이고,

\overset{x}{˙}_{2} (t) + x_{2} (t) + 5 x_{1} (t) = 5 r (t)

이므로, 이를

\overset{x}{˙}_{2} (t)

에 대해 정리하면

\overset{x}{˙}_{2} (t) = - 5 x_{1} (t) - x_{2} (t) + 5 r (t)

가 됩니다.

\overset{x}{˙}_{1} (t) = x_{2} (t)

\overset{x}{˙}_{2} (t) = - 5 x_{1} (t) - x_{2} (t) - 5 r (t)

입력 r(t)의 부호를 반대로 적용한 오답입니다.

\overset{x}{˙}_{1} (t) = - x_{2} (t)

\overset{x}{˙}_{2} (t) = 5 x_{1} (t) + x_{2} (t) - 5 r (t)

상태변수 x1(t)의 미분 부호와 전체 미분방정식의 부호를 잘못 적용한 오답입니다.

\overset{x}{˙}_{1} (t) = - x_{2} (t)

\overset{x}{˙}_{2} (t) = - 5 x_{1} (t) - x_{2} (t) + 5 r (t)

상태변수 x1(t)의 미분 부호를 잘못 적용한 오답입니다.

상태방정식을 세우기 위해 가장 먼저 해야 할 일은 무엇인가요?

주어진 블록선도를 통해 폐루프 전달함수를 구하거나, 입력과 출력 사이의 미분방정식을 도출하는 것입니다.

상태변수 x1(t)와 x2(t)의 관계는 어떻게 되나요?

문제에서 x1(t) = c(t)로 정의되었으므로, 이를 시간에 대해 미분한 x2(t) = dc(t)/dt는 x1(t)의 1차 미분인 x1'(t)와 같습니다.