안정도판별법

전기기사 필기 2021년 1회 62번

Q문제

특성 방정식이

2 s^{4} + 10 s^{3} + 11 s^{2} + 5 s + K = 0

으로 주어진 제어시스템이 안정하기 위한 조건은?

유사 문제 링크

선택지 분석

0 < K < 2

루스 배열의 s^1 행 계산에서 오류를 범하여 잘못된 범위를 도출한 오답입니다.

0 < K < 5

제어시스템이 안정하기 위해서는 루스-후르비츠(Routh-Hurwitz) 배열의 제1열의 모든 요소가 0보다 커야 합니다.

•

Step 1: 주어진 특성방정식

2 s^{4} + 10 s^{3} + 11 s^{2} + 5 s + K = 0

을 이용하여 루스 배열을 작성합니다.

s^{4}

행: 2, 11, K

s^{3}

행: 10, 5, 0

•

Step 2:

s^{2}

행의 요소를 계산합니다. 첫 번째 요소:

\frac{10 \times 11 - 2 \times 5}{10} = \frac{110 - 10}{10} = 10

두 번째 요소:

\frac{10 \times K - 2 \times 0}{10} = K

•

Step 3:

s^{1}

행의 요소를 계산합니다. 첫 번째 요소:

\frac{10 \times 5 - 10 \times K}{10} = \frac{50 - 10 K}{10} = 5 - K

•

Step 4:

s^{0}

행의 요소를 계산합니다. 첫 번째 요소:

K

•

Step 5: 제1열의 요소(2, 10, 10,

5 - K

K

)가 모두 양수여야 하므로 다음 부등식을 만족해야 합니다.

5 - K > 0 ⟹ K < 5

K > 0

따라서 시스템이 안정하기 위한 K의 범위는

0 < K < 5

입니다.

0 < K < 6

루스 배열의 s^1 행 계산 시 분자 항의 뺄셈 순서나 계수를 잘못 적용하여 도출된 오답입니다.

0 < K < 10

루스 배열의 s^2 행의 첫 번째 요소인 10을 K의 상한값으로 착각하여 도출된 오답입니다.

루스-후르비츠 안정도 판별법에서 제1열의 부호가 변하면 어떻게 되나요?

루스 배열의 제1열에서 부호가 변하는 횟수만큼 특성방정식의 근이 s-평면의 우반면에 존재하게 되며, 이 경우 제어시스템은 불안정해집니다.

특성방정식의 계수 중 하나라도 0이거나 음수이면 바로 불안정하다고 판단할 수 있나요?

네, 맞습니다. 특성방정식의 모든 계수가 존재하고 같은 부호(일반적으로 양수)를 가져야 한다는 것이 안정도를 위한 필요조건입니다. 계수 중 0이거나 음수가 있다면 루스 배열을 작성할 필요 없이 불안정하다고 판별할 수 있습니다.