샘플값제어

전기기사 필기 2021년 3회 66번

Q: $z$ 변환에서 단위계단 함수의 결과가 왜 $z/(z-1)$인가요?

$z$ 변환은 이산 시간 신호에 대한 무한급수 합으로 정의되며, 단위계단 신호의 모든 샘플값이 1인 경우 공비가 $z^{-1}$인 등비급수의 합 공식을 통해 $z/(z-1)$이 도출됩니다.

Q: $z$ 변환 시 샘플링 주기 $T$는 언제 포함되나요?

램프 함수 $t$를 $z$ 변환하는 경우처럼 함수 자체에 시간 변수 $t$가 포함되어 $nT$로 치환될 때 결과식에 $T$가 나타나게 됩니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	memory
난이도	Level 1

Q문제

단위계단 함수

u (t)

를

z

변환하면?

유사 문제 링크

2021-1-q69 2021-3-q62 2022-1-q61 2021-1-q64 2010-3-q61

선택지 분석

1/ (z - 1)

오답 함정 분석

분자의

z

항이 누락되어 무한등비급수의 첫째 항 처리가 잘못된 결과입니다.

z / (z - 1)

정답 상세 해설

단위계단 함수

u (t)

의

z

변환 결과는

z / (z - 1)

입니다.

•

Step 1: 단위계단 함수

u (t)

는

t \geq 0

범위에서 항상 1의 값을 갖는 함수로 정의됩니다.

•

Step 2:

z

변환의 정의에 따라

X (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} 1 \cdot z^{- n}

으로 표현되며 이는 공비가

z^{- 1}

인 무한등비급수입니다.

•

Step 3: 무한등비급수 수렴 조건에 의해

1/ (1 - z^{- 1})

이 되며 분모와 분자에

z

를 곱하면

z / (z - 1)

이 도출됩니다.

1/ (T z - 1)

오답 함정 분석

샘플링 주기

T

가 분모에 잘못 포함되어 있으며 이는 단위계단 함수의 표준

z

변환 결과가 아닙니다.

T z / (T z - 1)

오답 함정 분석

샘플링 주기

T

가 포함된 형태는 램프 함수 등의 변환 결과와 혼동될 수 있으나 단위계단 함수에는 해당하지 않습니다.

자주 묻는 질문

z

변환에서 단위계단 함수의 결과가 왜

z / (z - 1)

인가요?

z

변환은 이산 시간 신호에 대한 무한급수 합으로 정의되며, 단위계단 신호의 모든 샘플값이 1인 경우 공비가

z^{- 1}

인 등비급수의 합 공식을 통해

z / (z - 1)

이 도출됩니다.

z

변환 시 샘플링 주기

T

는 언제 포함되나요?

램프 함수

t

를

z

변환하는 경우처럼 함수 자체에 시간 변수

t

가 포함되어

n T

로 치환될 때 결과식에

T

가 나타나게 됩니다.

이 문제 바로 풀기