샘플값제어

전기기사 필기 2022년 1회 61번

단위 계단 함수 $u(t)$를 샘플링한 이산 신호의 Z변환이 $\frac{z}{z-1}$이기 때문입니다. 따라서 역변환을 취하면 시간 영역에서 1이 됩니다.

$1 - e^{-at}$의 Z변환이 $\frac{(1-e^{-aT})z}{(z-1)(z-e^{-aT})}$라는 것은 제어공학에서 자주 쓰이는 기본 변환 쌍이므로 암기해 두면 계산 없이 바로 답을 찾을 수 있습니다.

Q문제

61.

F (z) = \frac{( 1 - e ^{- a T} ) z}{( z - 1 ) ( z - e ^{- a T} )}

의 역 z 변환은?

유사 문제 링크

선택지 분석

1 - e^{-at}

주어진 Z변환 함수를 부분분수로 전개하여 각각의 역변환을 구하는 문제입니다.

•

Step 1: 주어진 함수

F (z)

를 부분분수 형태로 분리합니다.

F (z) = \frac{( 1 - e ^{- a T} ) z}{( z - 1 ) ( z - e ^{- a T} )} = \frac{z}{z - 1} - \frac{z}{z - e ^{- a T}}

•

Step 2: 분리된 각 항의 역 Z변환을 기본 변환표를 이용하여 구합니다.

Z^{- 1} {\frac{z}{z - 1}} = 1

Z^{- 1} {\frac{z}{z - e ^{- a T}}} = e^{- a t}

•

Step 3: 두 결과를 합쳐 최종 시간 영역의 함수를 도출합니다.

f (t) = 1 - e^{- a t}

1 + e^{-at}

부분분수 전개 시 중간 부호가 덧셈(+)일 때 나오는 결과입니다.

t \cdot e^{- a t}

시간 영역에서

t

가 곱해진 형태는 Z영역에서 미분 형태의 복잡한 식으로 나타나므로 주어진 식과 다릅니다.

t \cdot e^{a t}

지수의 부호가 반대이며,

t

가 곱해진 형태의 변환 결과와도 일치하지 않습니다.

Z변환에서

\frac{z}{z - 1}

의 역변환이 1이 되는 이유는 무엇인가요?

단위 계단 함수

u (t)

를 샘플링한 이산 신호의 Z변환이

\frac{z}{z - 1}

이기 때문입니다. 따라서 역변환을 취하면 시간 영역에서 1이 됩니다.

부분분수 전개 없이 바로 역변환을 알 수는 없나요?

1 - e^{- a t}

의 Z변환이

\frac{( 1 - e ^{- a T} ) z}{( z - 1 ) ( z - e ^{- a T} )}

라는 것은 제어공학에서 자주 쓰이는 기본 변환 쌍이므로 암기해 두면 계산 없이 바로 답을 찾을 수 있습니다.