시스템행렬 $A$가 다음과 같을 때 상태천이행렬을 구하면? $$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}$$

$\begin{bmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & -e^{-t} + e^{-2t} \\ 2e^{-t} - 2e^{-2t} & -e^{-t} - 2e^{-2t} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} + e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} - 2e^{-2t} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & -e^{-t} + e^{-2t} \\ 2e^{-t} - 2e^{-2t} & -e^{-t} - 2e^{-2t} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{bmatrix}$

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상태공간해석

전기기사 필기 2020년 3회 62번

Q: 상태천이행렬을 구하는 공식은 무엇인가요?

상태천이행렬 $\Phi(t)$는 $(sI - A)$의 역행렬을 구한 뒤, 이를 역라플라스 변환하여 구합니다. 즉, $\Phi(t) = \mathcal{L}^{-1} [ (sI - A)^{-1} ]$입니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

시스템행렬

A

가 다음과 같을 때 상태천이행렬을 구하면?

A = [0 - 2 1 - 3]

유사 문제 링크

2021-3-q70 2021-3-q65 2021-3-q63 2010-3-q67 2021-3-q69

선택지 분석

[2 e^{- t} - e^{- 2 t} 2 e^{- t} - 2 e^{- 2 t} - e^{- t} + e^{- 2 t} - e^{- t} - 2 e^{- 2 t}]

오답 함정 분석

역행렬 계산 및 부분분수 전개 과정에서 1행 2열과 2행 2열 원소의 부호 및 계수를 잘못 산출한 오답입니다.

[2 e^{- t} - e^{- 2 t} - 2 e^{- t} + 2 e^{- 2 t} e^{- t} + e^{- 2 t} - e^{- t} - 2 e^{- 2 t}]

오답 함정 분석

역행렬 계산 및 부분분수 전개 과정에서 1행 2열 원소의 부호를 잘못 산출한 오답입니다.

[2 e^{- t} - e^{- 2 t} 2 e^{- t} - 2 e^{- 2 t} - e^{- t} + e^{- 2 t} - e^{- t} - 2 e^{- 2 t}]

오답 함정 분석

1번 선지와 동일한 수식이 제시된 오답입니다.

[2 e^{- t} - e^{- 2 t} - 2 e^{- t} + 2 e^{- 2 t} e^{- t} - e^{- 2 t} - e^{- t} + 2 e^{- 2 t}]

정답 상세 해설

상태천이행렬

Φ (t)

는

L^{- 1} [(s I - A)^{- 1}]

공식을 통해 산출합니다.

•

Step 1:

(s I - A)

행렬을 구합니다.

s I - A = [s 0 0 s] - [0 - 2 1 - 3] = [s 2 - 1 s + 3]

입니다.

•

Step 2:

(s I - A)

의 역행렬을 구합니다. 행렬식

Δ = s (s + 3) - (- 1) (2) = s^{2} + 3 s + 2 = (s + 1) (s + 2)

입니다. 따라서

(s I - A)^{- 1} = \frac{1}{( s + 1 ) ( s + 2 )} [s + 3 - 2 1 s]

입니다.

•

Step 3: 역행렬의 각 원소를 부분분수로 전개합니다. 1행 1열은

\frac{s + 3}{( s + 1 ) ( s + 2 )} = \frac{2}{s + 1} - \frac{1}{s + 2}

, 1행 2열은

\frac{1}{( s + 1 ) ( s + 2 )} = \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{s + 2}

, 2행 1열은

\frac{- 2}{( s + 1 ) ( s + 2 )} = \frac{- 2}{s + 1} + \frac{2}{s + 2}

, 2행 2열은

\frac{s}{( s + 1 ) ( s + 2 )} = \frac{- 1}{s + 1} + \frac{2}{s + 2}

입니다.

•

Step 4: 각 원소에 역라플라스 변환을 적용합니다. 결과적으로

Φ (t) = [2 e^{- t} - e^{- 2 t} - 2 e^{- t} + 2 e^{- 2 t} e^{- t} - e^{- 2 t} - e^{- t} + 2 e^{- 2 t}]

가 됩니다.

자주 묻는 질문

상태천이행렬을 구하는 공식은 무엇인가요?

상태천이행렬

Φ (t)

는

(s I - A)

의 역행렬을 구한 뒤, 이를 역라플라스 변환하여 구합니다. 즉,

Φ (t) = L^{- 1} [(s I - A)^{- 1}]

입니다.

역행렬의 각 원소를 부분분수로 전개하는 이유는 무엇인가요?

복잡한 분수 형태의 식을 1차식의 합과 차로 분리하여, 기본 라플라스 변환표를 이용해 쉽게 역라플라스 변환을 수행하기 위함입니다.

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