라플라스변환

전기기사 필기 2020년 3회 74번

Q문제

RC 직렬회로에서 직류전압

V (V)

가 인가되었을 때, 전류

i (t)

에 대한 전압 방정식(KVL)이

V = R i (t) + \frac{1}{C} \int i (t) d t (V)

이다. 전류

i (t)

의 라플라스 변환인

I (s)

는? (단, C에는 초기 전하가 없다.)

유사 문제 링크

선택지 분석

I (s) = \frac{V}{R} \frac{1}{s - \frac{1}{R C}}

분모의 부호가 잘못 도출된 오답입니다.

s + \frac{1}{R C}

가 되어야 합니다.

I (s) = \frac{C}{R} \frac{1}{s + \frac{1}{R C}}

상수항이

\frac{V}{R}

가 아닌

\frac{C}{R}

로 잘못 표현된 오답입니다.

I (s) = \frac{V}{R} \frac{1}{s + \frac{1}{R C}}

RC 직렬회로의 전압 방정식에 라플라스 변환을 적용하여 전류

I (s)

를 구하는 과정입니다.

•

Step 1: 주어진 전압 방정식

V = R i (t) + \frac{1}{C} \int i (t) d t

의 양변을 라플라스 변환합니다. 직류 전압

V

의 라플라스 변환은

\frac{V}{s}

이고, 초기 전하가 없으므로 적분항의 라플라스 변환은

\frac{1}{C s} I (s)

입니다. 따라서

\frac{V}{s} = R I (s) + \frac{1}{C s} I (s)

가 됩니다.

•

Step 2: 우변을

I (s)

에 대해 묶으면

\frac{V}{s} = I (s) (R + \frac{1}{C s})

가 됩니다.

•

Step 3:

I (s)

에 대해 식을 정리하면

I (s) = \frac{\frac{V}{s}}{R + \frac{1}{C s}} = \frac{V}{s R + \frac{1}{C}} = \frac{V}{R ( s + \frac{1}{R C} )} = \frac{V}{R} \frac{1}{s + \frac{1}{R C}}

가 됩니다.

I (s) = \frac{R}{C} \frac{1}{s - \frac{1}{R C}}

상수항이

\frac{V}{R}

가 아닌

\frac{R}{C}

로 잘못 표현되었으며, 분모의 부호도 잘못 도출된 오답입니다.

직류 전압 V의 라플라스 변환은 어떻게 되나요?

직류 전압 V는 시간에 따라 일정한 상수 함수이므로, 라플라스 변환을 하면 V/s가 됩니다.

적분항의 라플라스 변환에서 초기 전하가 0이라는 조건은 왜 필요한가요?

초기 전하가 있을 경우 적분항의 라플라스 변환 시 초기 조건에 의한 추가 항이 발생합니다. 초기 전하가 0이므로 단순히 1/(Cs) * I(s)로 변환할 수 있습니다.