상태공간해석

전기기사 필기 2020년 2회 66번

일반적으로 출력 변수와 그 도함수들을 상태변수로 설정합니다. 2차 미분방정식의 경우 $x_1(t) = c(t)$, $x_2(t) = \dot{c}(t)$로 설정합니다.

Q문제

다음과 같은 미분방정식으로 표현되는 제어시스템의 시스템 행렬 A는?

\frac{d ^{2} c ( t )}{d t ^{2}} + 5 \frac{d c ( t )}{d t} + 3 c (t) = r (t)

유사 문제 링크

선택지 분석

[- 5 0 - 3 1]

상태방정식의 행과 열의 위치를 잘못 배치한 행렬입니다.

[- 3 0 - 5 1]

상태방정식의 행과 열의 위치를 잘못 배치한 행렬입니다.

[0 - 3 1 - 5]

주어진 미분방정식을 상태방정식으로 변환하면 시스템 행렬 A는

[0 - 3 1 - 5]

가 됩니다.

•

Step 1: 상태변수를

x_{1} (t) = c (t)

x_{2} (t) = \frac{d c ( t )}{d t}

로 정의합니다.

•

Step 2: 상태변수의 미분값을 구하면

\overset{x}{˙}_{1} (t) = x_{2} (t)

이고, 주어진 미분방정식에 의해

\overset{x}{˙}_{2} (t) = - 3 c (t) - 5 \frac{d c ( t )}{d t} + r (t) = - 3 x_{1} (t) - 5 x_{2} (t) + r (t)

가 됩니다.

•

Step 3: 이를 행렬 형태인

\overset{x}{˙} (t) = A x (t) + B r (t)

로 나타내면,

[\overset{x}{˙}_{1} (t) \overset{x}{˙}_{2} (t)] = [0 - 3 1 - 5] [x_{1} (t) x_{2} (t)] + [01] r (t)

가 되므로 시스템 행렬 A는

[0 - 3 1 - 5]

입니다.

[0 - 5 1 - 3]

상태방정식의 두 번째 행에서

x_{1} (t)

와

x_{2} (t)

의 계수 위치를 반대로 적용한 행렬입니다.

상태변수는 어떻게 설정하나요?

일반적으로 출력 변수와 그 도함수들을 상태변수로 설정합니다. 2차 미분방정식의 경우

x_{1} (t) = c (t)

x_{2} (t) = \overset{c}{˙} (t)

로 설정합니다.

시스템 행렬 A의 크기는 어떻게 결정되나요?

시스템 행렬 A는 상태변수의 개수와 동일한 크기의 정방행렬이 됩니다. 2차 미분방정식은 2개의 상태변수를 가지므로 2x2 행렬이 됩니다.