상태공간해석

전기기사 필기 2019년 3회 65번

Q: 상태공간 표현식에서 전달함수를 구하는 공식은 무엇인가요?

상태공간 표현식 $\dot{x} = Ax + Bu$, $y = Cx + Du$에서 전달함수 $G(s)$는 $G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D$로 계산합니다.

Q: 역행렬을 전부 구하지 않고도 전달함수를 계산할 수 있나요?

네, 가능합니다. 행렬 $C$와 $B$의 원소 중 0이 많은 경우, 행렬 곱셈의 특성을 이용하여 필요한 특정 원소(여인수)만 계산하면 전체 역행렬을 구하지 않고도 빠르게 전달함수를 도출할 수 있습니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

상태공간 표현식

\overset{x}{˙} = A x + B u

y = C x

로 표현되는 선형 시스템에서

A = 00 - 2 10 - 9 01 - 8

B = 005

C = [100]

D = 0

x = x_{1} x_{2} x_{3}

이면 시스템 전달함수는?

유사 문제 링크

2010-3-q68 2010-2-q62 2006-1-q77 2008-3-q75 2005-1-q72

선택지 분석

\frac{1}{s ^{3} + 8 s ^{2} + 9 s + 2}

오답 함정 분석

입력 행렬 B의 상수 5를 곱하지 않고 분자를 1로 계산한 오답입니다.

\frac{1}{s ^{3} + 2 s ^{2} + 9 s + 8}

오답 함정 분석

특성방정식의 계수 순서를 잘못 적용하고 입력 행렬 B의 상수를 누락한 오답입니다.

\frac{5}{s ^{3} + 8 s ^{2} + 9 s + 2}

정답 상세 해설

시스템의 전달함수는

G (s) = C (s I - A)^{- 1} B + D

공식을 통해 계산합니다.

•

Step 1: 행렬

(s I - A)

와 그 행렬식을 구합니다.

s I - A = s 02 - 1 s 9 0 - 1 s + 8

행렬식

∣ s I - A ∣ = s (s (s + 8) - (- 9)) - (- 1) (0 - (- 2)) = s^{3} + 8 s^{2} + 9 s + 2

입니다.

•

Step 2: 전달함수를 구하기 위해

C (s I - A)^{- 1} B

를 계산합니다.

C = [100]

이고

B = 005

이므로, 전달함수는

(s I - A)^{- 1}

의 1행 3열 원소에 5를 곱한 값과 같습니다.

•

Step 3:

(s I - A)^{- 1}

의 1행 3열 원소를 구합니다. 1행 3열의 여인수는

(- 1)^{1 + 3} det [- 1 s 0 - 1] = 1

입니다. 따라서 1행 3열 원소는

\frac{1}{s ^{3} + 8 s ^{2} + 9 s + 2}

입니다.

•

Step 4: 최종 전달함수를 계산합니다.

G (s) = 5 \times \frac{1}{s ^{3} + 8 s ^{2} + 9 s + 2} = \frac{5}{s ^{3} + 8 s ^{2} + 9 s + 2}

입니다.

\frac{5}{s ^{3} + 2 s ^{2} + 9 s + 8}

오답 함정 분석

특성방정식의 계수 순서를 잘못 적용하여 분모를 잘못 계산한 오답입니다.

자주 묻는 질문

상태공간 표현식에서 전달함수를 구하는 공식은 무엇인가요?

상태공간 표현식

\overset{x}{˙} = A x + B u

y = C x + D u

에서 전달함수

G (s)

는

G (s) = C (s I - A)^{- 1} B + D

로 계산합니다.

역행렬을 전부 구하지 않고도 전달함수를 계산할 수 있나요?

네, 가능합니다. 행렬

C

와

B

의 원소 중 0이 많은 경우, 행렬 곱셈의 특성을 이용하여 필요한 특정 원소(여인수)만 계산하면 전체 역행렬을 구하지 않고도 빠르게 전달함수를 도출할 수 있습니다.

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