샘플값제어

전기기사 필기 2019년 3회 70번

Q: 무한 등비급수의 합 공식은 어떻게 적용되나요?

공비가 $r$일 때 $\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}$이 됩니다. 이 문제에서는 공비가 $e^{-aT}z^{-1}$이므로 이를 대입하여 계산합니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 2

Q문제

함수

e^{- a t}

의

z

변환으로 옳은 것은?

유사 문제 링크

2006-1-q74 2008-1-q75 2019-2-q61 2010-2-q70 2013-3-q66

선택지 분석

\frac{z}{z - e ^{- a T}}

정답 상세 해설

함수

e^{- a t}

의

z

변환은

\frac{z}{z - e ^{- a T}}

입니다.

•

Step 1: 연속 시간 함수

f (t) = e^{- a t}

를 샘플링 주기

T

로 이산화하면

f (n T) = e^{- an T}

가 됩니다.

•

Step 2:

z

변환의 정의

F (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} f (n T) z^{- n}

에 대입합니다.

•

Step 3:

F (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- an T} z^{- n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (e^{- a T} z^{- 1})^{n}

이 됩니다.

•

Step 4: 무한 등비급수의 합 공식을 적용하면

F (z) = \frac{1}{1 - e ^{- a T} z ^{- 1}}

이 됩니다.

•

Step 5: 분모와 분자에

z

를 곱하여 정리하면

F (z) = \frac{z}{z - e ^{- a T}}

가 도출됩니다.

\frac{z}{z - a}

오답 함정 분석

샘플링 주기

T

와 지수 함수의 특성을 고려하지 않고 분모를

z - a

로 잘못 표현한 오답입니다.

\frac{1}{z - e ^{- a T}}

오답 함정 분석

분자에

z

가 누락되어 무한 등비급수의 합을 잘못 정리한 오답입니다.

\frac{1}{z - a}

오답 함정 분석

샘플링 주기

T

를 무시하고 분자에

z

도 누락한 오답입니다.

자주 묻는 질문

z

변환에서 샘플링 주기

T

는 왜 필요한가요?

연속 시간 신호를 이산 시간 신호로 변환하기 위해 일정한 간격으로 샘플링을 수행해야 하며, 이때의 간격이 샘플링 주기

T

입니다.

무한 등비급수의 합 공식은 어떻게 적용되나요?

공비가

r

일 때

\sum_{n = 0}^{\infty} r^{n} = \frac{1}{1 - r}

이 됩니다. 이 문제에서는 공비가

e^{- a T} z^{- 1}

이므로 이를 대입하여 계산합니다.

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