상태 방정식이 다음과 같은 계의 천이행렬 $\Phi(t)$는 어떻게 표시되는가? $$\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu$$

$\mathcal{L}^{-1}[(sI-A)^{-1}]$

$\mathcal{L}^{-1}[(sI-B)^{-1}]$

상태공간해석

전기기사 필기 2013년 3회 66번

네, 상태 천이 행렬 $\Phi(t)$는 행렬 지수 함수 $e^{At}$와 동일하게 표현됩니다.

Q문제

상태 방정식이 다음과 같은 계의 천이행렬

Φ (t)

는 어떻게 표시되는가?

\overset{x}{˙} (t) = A x (t) + B u

유사 문제 링크

L^{- 1} [(s I - A)]

상태 천이 행렬을 구하기 위해서는 (sI-A)의 역행렬을 취해야 하나, 역행렬 기호가 누락되었습니다.

L^{- 1} [(s I - A)^{- 1}]

상태 천이 행렬은 초기 상태가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 나타내는 행렬로,

Φ (t) = L^{- 1} [(s I - A)^{- 1}]

로 정의됩니다.

•

Step 1: 상태 방정식

\overset{x}{˙} (t) = A x (t) + B u (t)

의 양변을 라플라스 변환합니다.

s X (s) - x (0) = A X (s) + B U (s)

•

Step 2:

X (s)

에 대해 식을 정리하여 상태 천이 행렬의 라플라스 변환 형태를 구합니다.

(s I - A) X (s) = x (0) + B U (s)

X (s) = (s I - A)^{- 1} x (0) + (s I - A)^{- 1} B U (s)

여기서 초기 상태

x (0)

에 곱해지는

(s I - A)^{- 1}

이 상태 천이 행렬의 라플라스 변환

Φ (s)

입니다.

•

Step 3:

Φ (s)

를 역 라플라스 변환하여 시간 영역의 상태 천이 행렬

Φ (t)

를 구합니다.

Φ (t) = L^{- 1} [Φ (s)] = L^{- 1} [(s I - A)^{- 1}]

L^{- 1} [(s I - B)]

상태 천이 행렬은 시스템 행렬 A에 의해 결정되나 입력 행렬 B가 사용되었으며, 역행렬 기호도 누락되었습니다.

L^{- 1} [(s I - B)^{- 1}]

상태 천이 행렬은 시스템 행렬 A에 의해 결정되나 입력 행렬 B가 잘못 사용되었습니다.

상태 천이 행렬

Φ (t)

의 물리적 의미는 무엇인가요?

상태 천이 행렬은 외부 입력이 없을 때 시스템의 초기 상태가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 나타내는 행렬입니다.

상태 천이 행렬을 행렬 지수 함수로 표현할 수 있나요?

네, 상태 천이 행렬

Φ (t)

는 행렬 지수 함수

e^{A t}

와 동일하게 표현됩니다.