라플라스변환

전기기사 필기 2019년 2회 80번

$e^{at}$를 변환하면 분모가 $s-a$가 됩니다. 따라서 지수부의 부호와 분모 상수의 부호는 서로 반대가 됩니다.

네, $e^{j\omega t} = \cos\omega t + j\sin\omega t$로 전개한 후 각각을 변환하여 합산하면 동일한 결과인 $\frac{1}{s-j\omega}$를 얻을 수 있습니다.

Q문제

f (t) = e^{j ω t}

의 라플라스 변환은?

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{1}{s - j ω}

지수함수

e^{a t}

의 라플라스 변환 공식인

\frac{1}{s - a}

를 적용하여 결과값을 도출합니다.

•

Step 1: 라플라스 변환의 정의식

F (s) = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t

에 주어진 함수

f (t) = e^{j ω t}

를 대입합니다.

•

Step 2: 적분식

\int_{0}^{\infty} e^{j ω t} e^{- s t} d t = \int_{0}^{\infty} e^{- (s - j ω) t} d t

를 계산합니다.

•

Step 3: 적분 결과인

[- \frac{1}{s - j ω} e^{- (s - j ω) t}]_{0}^{\infty}

에 상한과 하한을 대입하면

\frac{1}{s - j ω}

가 산출됩니다.

\frac{1}{s + j ω}

지수부의 부호가 음수인

e^{- j ω t}

를 변환했을 때의 결과값입니다.

\frac{1}{s ^{2} + ω ^{2}}

코사인 또는 사인 함수의 변환 형태와 유사하나 분자가 상수가 아닌 변수

s

혹은

ω

가 빠져 있는 잘못된 식입니다.

\frac{ω}{s ^{2} + ω ^{2}}

삼각함수인

sin (ω t)

의 라플라스 변환 결과값입니다.

지수함수의 라플라스 변환에서 부호는 어떻게 결정되나요?

e^{a t}

를 변환하면 분모가

s - a

가 됩니다. 따라서 지수부의 부호와 분모 상수의 부호는 서로 반대가 됩니다.

오일러 공식을 이용하여 풀 수도 있나요?

네,

e^{j ω t} = cos ω t + j sin ω t

로 전개한 후 각각을 변환하여 합산하면 동일한 결과인

\frac{1}{s - j ω}

를 얻을 수 있습니다.