안정도판별법

전기기사 필기 2019년 2회 70번

Q: $K$의 값에 따라 근궤적이 어떻게 변화하나요?

$K$가 증가함에 따라 두 근은 개루프 극점인 $s=0, -2$에서 출발하여 $s=-1$에서 만난 후(중근), $K>1$이 되면 허수축과 평행하게 상하로 갈라지며 공액복소근 궤적을 형성합니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	trap
난이도	Level 4

Q문제

단위 궤환제어계의 개루프 전달함수가

G (s) = \frac{K}{s ( s + 2 )}

일 때,

K

가

- \infty

로부터

+ \infty

까지 변하는 경우 특성방정식의 근에 대한 설명으로 틀린 것은?

유사 문제 링크

2015-3-q62 2018-1-q68 2005-1-q74 2015-1-q69 2005-1-q77

선택지 분석

- \infty < K < 0

에 대하여 근은 모두 실근이다.

오답 함정 분석

K < 0

일 때 판별식

D /4 = 1 - K > 1

이 되어 항상 서로 다른 두 실근을 가지므로 옳은 설명입니다.

0 < K < 1

에 대하여 2개의 근은 모두 음의 실근이다.

오답 함정 분석

0 < K < 1

일 때 판별식

0 < 1 - K < 1

이 되어 서로 다른 두 음의 실근을 가지므로 옳은 설명입니다.

K = 0

에 대하여

s_{1} = 0, s_{2} = - 2

의 근은

G (s)

의 극점과 일치한다.

오답 함정 분석

K = 0

을 대입하면 특성방정식은

s (s + 2) = 0

이 되어 개루프 전달함수의 극점인

0, - 2

와 일치하므로 옳은 설명입니다.

1 < K < \infty

에 대하여 2개의 근은 음의 실수부 중근이다.

정답 상세 해설

1 < K < \infty

범위에서 특성방정식의 근은 중근이 아니라 공액복소근을 갖습니다.

•

Step 1: 단위 궤환계의 특성방정식

1 + G (s) = 0

을 구합니다.

1 + \frac{K}{s ( s + 2 )} = 0

을 정리하면

s^{2} + 2 s + K = 0

이 도출됩니다.

•

Step 2: 근의 공식을 사용하여 근

s

를 구하면

s = \frac{- 2 \pm 4 - 4 K}{2} = - 1 \pm 1 - K

가 됩니다.

•

Step 3:

K > 1

인 조건에서는 판별식 내부의 값

1 - K

가 음수가 되므로, 근은

s = - 1 \pm j K - 1

인 공액복소근이 됩니다. 중근은 오직

K = 1

일 때만 발생하므로 해당 설명은 틀린 것입니다.

자주 묻는 질문

특성방정식의 근이 복소수일 때 제어계의 응답은 어떻게 나타나나요?

근이 공액복소수이면 제어계의 응답은 진동하는 특성을 보이며, 실수부가 음수이면 이 진동은 시간이 지남에 따라 점차 감쇠하여 수렴합니다.

K

의 값에 따라 근궤적이 어떻게 변화하나요?

K

가 증가함에 따라 두 근은 개루프 극점인

s = 0, - 2

에서 출발하여

s = - 1

에서 만난 후(중근),

K > 1

이 되면 허수축과 평행하게 상하로 갈라지며 공액복소근 궤적을 형성합니다.

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