라플라스변환

전기기사 필기 2018년 3회 73번

시간 영역에서 함수가 $a$만큼 지연된 $f(t-a)u(t-a)$의 라플라스 변환은 원래 함수의 변환 $F(s)$에 $e^{-as}$를 곱한 $e^{-as}F(s)$가 된다는 정리입니다.

Q문제

그림과 같은 파형의 Laplace 변환은?

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{1}{2 s ^{2}} (1 - e^{- 4 s} - s e^{- 4 s})

시간 지연 정리를 적용할 때 상수항 변환 과정에서 계수 계산이 잘못된 오답입니다.

\frac{1}{2 s ^{2}} (1 - e^{- 4 s} - 4 e^{- 4 s})

단위 계단 함수의 라플라스 변환 시 분모의

s

차수를 잘못 계산하여

s

가 누락된 오답입니다.

\frac{1}{2 s ^{2}} (1 - s e^{- 4 s} - 4 e^{- 4 s})

시간 지연 정리를 적용하는 과정에서 각 항의 라플라스 변환 결과를 혼동한 오답입니다.

\frac{1}{2 s ^{2}} (1 - e^{- 4 s} - 4 s e^{- 4 s})

주어진 파형의 라플라스 변환 결과는

\frac{1}{2 s ^{2}} (1 - e^{- 4 s} - 4 s e^{- 4 s})

입니다.

•

Step 1: 주어진 그래프의 함수

f (t)

를 단위 계단 함수

u (t)

를 이용하여 수식으로 표현합니다.

t = 0

부터

t = 4

까지 기울기가

\frac{1}{2}

인 직선이므로

f (t) = \frac{1}{2} t [u (t) - u (t - 4)]

가 됩니다.

•

Step 2: 라플라스 변환을 위해 시간 지연 정리를 적용할 수 있는 형태로 식을 변형합니다.

f (t) = \frac{1}{2} t u (t) - \frac{1}{2} t u (t - 4) = \frac{1}{2} t u (t) - \frac{1}{2} (t - 4 + 4) u (t - 4) = \frac{1}{2} t u (t) - \frac{1}{2} (t - 4) u (t - 4) - 2 u (t - 4)

입니다.

•

Step 3: 각 항을 라플라스 변환합니다.

F (s) = \frac{1}{2 s ^{2}} - \frac{1}{2 s ^{2}} e^{- 4 s} - \frac{2}{s} e^{- 4 s}

가 되며, 이를

\frac{1}{2 s ^{2}}

로 묶으면

F (s) = \frac{1}{2 s ^{2}} (1 - e^{- 4 s} - 4 s e^{- 4 s})

가 도출됩니다.

단위 계단 함수

u (t)

를 사용하여 파형을 표현하는 이유는 무엇인가요?

불연속적이거나 특정 구간에서만 정의된 함수를 하나의 수식으로 표현하기 위해서입니다. 이를 통해 라플라스 변환의 시간 지연 정리를 쉽게 적용할 수 있습니다.

시간 지연 정리란 무엇인가요?

시간 영역에서 함수가

a

만큼 지연된

f (t - a) u (t - a)

의 라플라스 변환은 원래 함수의 변환

F (s)

에

e^{- a s}

를 곱한

e^{- a s} F (s)

가 된다는 정리입니다.