가우스의 정리

전기기사 필기 2018년 3회 1번

Q문제

전계

E

의

x, y, z

성분을

E_{x}, E_{y}, E_{z}

라 할 때

div E

는?

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{\partial E _{x}}{\partial x} + \frac{\partial E _{y}}{\partial y} + \frac{\partial E _{z}}{\partial z}

발산(Divergence)의 정의를 확인합니다. 벡터장

E

의 발산

div E

는 연산자

\nabla

와 벡터

E

의 내적(

\nabla \cdot E

)으로 정의됩니다.

•

Step 1: 델 연산자(

\nabla

)와 전계 벡터(

E

)를 성분별로 나타냅니다.

\nabla = \frac{\partial}{\partial x} i + \frac{\partial}{\partial y} j + \frac{\partial}{\partial z} k

이고,

E = E_{x} i + E_{y} j + E_{z} k

입니다.

•

Step 2: 내적 연산을 수행합니다.

\nabla \cdot E = (\frac{\partial}{\partial x} i + \frac{\partial}{\partial y} j + \frac{\partial}{\partial z} k) \cdot (E_{x} i + E_{y} j + E_{z} k)

입니다.

•

Step 3: 각 성분별 곱의 합을 구하면

\frac{\partial E _{x}}{\partial x} + \frac{\partial E _{y}}{\partial y} + \frac{\partial E _{z}}{\partial z}

가 도출됩니다.

i \frac{\partial E _{x}}{\partial x} + j \frac{\partial E _{y}}{\partial y} + k \frac{\partial E _{z}}{\partial z}

발산은 벡터의 내적 결과이므로 스칼라량이어야 하지만, 해당 선지는 단위 벡터가 포함된 벡터 형식입니다.

\frac{\partial ^{2} E _{x}}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} E _{y}}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2} E _{z}}{\partial z ^{2}}

해당 식은 라플라시안(

\nabla^{2}

) 연산의 형태로, 전계의 발산이 아닌 전위의 라플라시안 등에서 사용되는 형식입니다.

i \frac{\partial ^{2} E _{x}}{\partial x ^{2}} + j \frac{\partial ^{2} E _{y}}{\partial y ^{2}} + k \frac{\partial ^{2} E _{z}}{\partial z ^{2}}

2계 도함수와 단위 벡터가 결합된 잘못된 연산 형식입니다.

발산(div) 연산의 결과는 항상 스칼라인가요?

네, 그렇습니다. 벡터와 벡터의 내적 연산이므로 결과값은 방향성이 없는 스칼라량으로 나타납니다.

물리적으로 div E가 의미하는 바는 무엇인가요?

단위 체적당 밖으로 나가는 전기력선의 총합을 의미하며, 가우스 정리에 의해 해당 지점의 전하 밀도와 비례 관계를 가집니다.