전위

전기기사 필기 2004년 2회 18번

Q: 푸아송의 방정식은 무엇인가요?

푸아송의 방정식은 전위 $V$와 체적전하밀도 $\rho$의 관계를 나타내는 편미분 방정식으로, $\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$로 표현됩니다.

Q: 라플라시안($\nabla^2$) 연산자는 어떻게 계산하나요?

직각좌표계에서 라플라시안 연산자는 각 좌표축($x, y, z$)에 대한 2차 편미분의 합인 $\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$로 계산합니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

전위함수

V = 5 x^{2} y + z [V]

일 때 점

(2, - 2, 2)

에서 체적전하밀도

ρ [C / m^{3}]

의 값은?

유사 문제 링크

2004-3-q3 2005-2-q8 2004-2-q1 2003-3-q8 2016-2-q19

선택지 분석

5 ϵ_{0}

오답 함정 분석

라플라시안 계산 시 편미분을 잘못 수행하거나 좌표 대입을 누락하여 도출된 오답입니다.

10 ϵ_{0}

오답 함정 분석

라플라시안 계산 후 y 좌표값(-2)을 대입하지 않고 계수만 고려하여 도출된 오답입니다.

20 ϵ_{0}

정답 상세 해설

푸아송의 방정식

\nabla^{2} V = - \frac{ρ}{ϵ _{0}}

를 이용하여 체적전하밀도를 구합니다.

•

Step 1: 주어진 전위함수

V = 5 x^{2} y + z

에 대해 라플라시안(

\nabla^{2} V

)을 계산합니다.

•

\frac{\partial ^{2} V}{\partial x ^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} (10 x y) = 10 y

•

\frac{\partial ^{2} V}{\partial y ^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} (5 x^{2}) = 0

•

\frac{\partial ^{2} V}{\partial z ^{2}} = \frac{\partial}{\partial z} (1) = 0

•

따라서

\nabla^{2} V = 10 y + 0 + 0 = 10 y

입니다.

•

Step 2: 점

(2, - 2, 2)

에서의

\nabla^{2} V

값을 구합니다.

•

y = - 2

를 대입하면

\nabla^{2} V = 10 (- 2) = - 20

입니다.

•

Step 3: 푸아송의 방정식에 대입하여 체적전하밀도

ρ

를 계산합니다.

•

- 20 = - \frac{ρ}{ϵ _{0}}

이므로,

ρ = 20 ϵ_{0}

입니다.

25 ϵ_{0}

오답 함정 분석

전위함수의 편미분 과정에서 계수 계산 오류로 인해 도출된 오답입니다.

자주 묻는 질문

푸아송의 방정식은 무엇인가요?

푸아송의 방정식은 전위

V

와 체적전하밀도

ρ

의 관계를 나타내는 편미분 방정식으로,

\nabla^{2} V = - \frac{ρ}{ϵ _{0}}

로 표현됩니다.

라플라시안(

\nabla^{2}

) 연산자는 어떻게 계산하나요?

직각좌표계에서 라플라시안 연산자는 각 좌표축(

x, y, z

)에 대한 2차 편미분의 합인

\frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2}}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2}}{\partial z ^{2}}

로 계산합니다.

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