다음 방정식으로 표시되는 제어계가 있다. 이 계를 상태 방정식 $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$ 로 나타내면 계수 행렬 $A$는? $$\frac{d^3}{dt^3}c(t) + 5\frac{d^2}{dt^2}c(t) + \frac{d}{dt}c(t) + 2c(t) = r(t)$$

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & -5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

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상태공간해석

전기기사 필기 2018년 1회 65번

Q: 상태 변수는 어떻게 설정하나요?

일반적으로 출력 변수와 그 도함수들을 상태 변수로 설정합니다. 3계 미분 방정식의 경우 $x_1=c$, $x_2=\dot{c}$, $x_3=\ddot{c}$로 설정합니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

다음 방정식으로 표시되는 제어계가 있다. 이 계를 상태 방정식

\overset{x}{˙} (t) = A x (t) + B u (t)

로 나타내면 계수 행렬

A

는?

\frac{d ^{3}}{d t ^{3}} c (t) + 5 \frac{d ^{2}}{d t ^{2}} c (t) + \frac{d}{d t} c (t) + 2 c (t) = r (t)

유사 문제 링크

2018-1-q63 2019-2-q69 2015-3-q68 2007-1-q74 2007-1-q77

선택지 분석

00 - 2 10 - 1 01 - 5

정답 상세 해설

주어진 3계 미분 방정식을 상태 공간 방정식으로 변환하여 계수 행렬

A

를 구하는 문제입니다.

•

Step 1: 상태 변수를 설정합니다.

x_{1} (t) = c (t)

x_{2} (t) = \overset{c}{˙} (t)

x_{3} (t) = \overset{c}{¨} (t)

로 정의합니다.

•

Step 2: 상태 변수의 미분 관계식을 도출합니다.

\overset{x}{˙}_{1} (t) = x_{2} (t)

\overset{x}{˙}_{2} (t) = x_{3} (t)

가 됩니다.

•

Step 3: 주어진 미분 방정식에서 최고차 미분항에 대해 정리합니다.

\frac{d ^{3}}{d t ^{3}} c (t) = - 2 c (t) - \frac{d}{d t} c (t) - 5 \frac{d ^{2}}{d t ^{2}} c (t) + r (t)

이므로, 이를 상태 변수로 나타내면

\overset{x}{˙}_{3} (t) = - 2 x_{1} (t) - x_{2} (t) - 5 x_{3} (t) + r (t)

가 됩니다.

•

Step 4: 도출된 관계식을 행렬 형태로 변환합니다.

\overset{x}{˙} (t) = A x (t) + B u (t)

에서 계수 행렬

A

는

00 - 2 10 - 1 01 - 5

가 됩니다.

015101002

오답 함정 분석

상태 변수의 미분 관계가 잘못 설정되었으며, 마지막 행의 계수 부호가 반대로 적용되었습니다.

011005102

오답 함정 분석

상태 변수의 미분 관계를 나타내는 첫 번째와 두 번째 행의 구조가 잘못되었습니다.

00 - 2 10 - 1 010

오답 함정 분석

마지막 행의

x_{3}

계수가 -5가 아닌 0으로 잘못 적용되었습니다.

자주 묻는 질문

상태 변수는 어떻게 설정하나요?

일반적으로 출력 변수와 그 도함수들을 상태 변수로 설정합니다. 3계 미분 방정식의 경우

x_{1} = c

x_{2} = \overset{c}{˙}

x_{3} = \overset{c}{¨}

로 설정합니다.

계수 행렬

A

의 마지막 행은 어떻게 결정되나요?

주어진 미분 방정식에서 최고차 미분항을 제외한 나머지 항들을 우변으로 이항한 뒤, 각 상태 변수의 계수를 순서대로 나열하여 결정합니다. 이때 부호가 반대로 바뀌는 것에 주의해야 합니다.

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