안정도판별법

전기기사 필기 2007년 1회 77번

Q문제

특성방정식이

s^{3} + s^{2} + s = 0

일 때, 이 계통은 어떻게 되는가?

유사 문제 링크

선택지 분석

안정하다.

모든 특성근의 실수부가 음수일 때만 안정한 계통이 되지만, 이 방정식은 원점에 근(s=0)을 가지므로 안정하지 않습니다.

불안정하다.

특성근 중 실수부가 양수인 근이 있거나 허수축에 중근이 존재할 때 불안정하지만, 이 방정식은 해당 조건에 부합하지 않습니다.

조건부 안정이다.

조건부 안정은 이득 K 등의 매개변수 값에 따라 안정도가 변하는 상태를 의미하며, 주어진 고정된 특성방정식의 상태를 설명하는 용어로는 적합하지 않습니다.

임계상태이다.

특성방정식의 근을 구하여 시스템의 안정도를 판별합니다.

•

Step 1: 주어진 특성방정식

s^{3} + s^{2} + s = 0

을 인수분해하면

s (s^{2} + s + 1) = 0

이 됩니다.

•

Step 2: 특성방정식의 근은

s = 0

및

s = - 0.5 \pm j \frac{3}{2}

입니다.

•

Step 3: 근 중에서

s = 0

은 허수축(원점)에 위치하는 단순근이며, 나머지 두 근은 음의 실수부를 가지는 복소수근입니다.

•

Step 4: 특성방정식의 근 중 하나가 허수축에 존재하고 나머지 근들의 실수부가 모두 음수이므로, 이 제어계는 임계상태입니다.

특성방정식의 근이 s=0인 경우 왜 임계상태가 되나요?

s=0은 복소평면에서 허수축(원점)에 위치하는 근입니다. 제어계의 특성근 중 허수축에 단순근이 존재하고 나머지 모든 근의 실수부가 음수이면, 시스템의 응답이 발산하지도 소멸하지도 않는 진동 상태나 일정 값을 유지하게 되어 임계상태가 됩니다.

루스-후르비츠(Routh-Hurwitz) 판별법으로도 이 문제를 풀 수 있나요?

가능합니다. 루스 배열을 작성했을 때 제1열의 원소 중 부호 변화가 없으나 0이 존재하는 경우, 이는 허수축에 근이 존재함을 의미하므로 임계상태로 판별할 수 있습니다.