$x=0$인 무한평면을 경계면으로 하여 $x 0$인 영역에는 $\epsilon_{r2}=4$인 유전체가 있다. $\epsilon_{r1}$인 유전체 내에서 전계 $E_1 = 20a_x - 10a_y + 5a_z [V/m]$일 때, $x > 0$인 영역에 있는 $\epsilon_{r2}$인 유전체 내에서 전속밀도 $D_2 [C/m^2]$는? (단, 경계면상에는 자유전하가 없다고 한다.)

$D_2 = \epsilon_0(40a_x - 40a_y + 20a_z)$

$D_2 = \epsilon_0(20a_x - 40a_y + 5a_z)$

$D_2 = \epsilon_0(40a_x - 40a_y + 20a_z)$

$D_2 = \epsilon_0(80a_x - 20a_y + 10a_z)$

$D_2 = \epsilon_0(40a_x - 20a_y + 20a_z)$

문제 탐색

경계조건

전기기사 필기 2018년 1회 14번

Q: 유전체 경계조건에서 어떤 성분이 연속인가요?

경계면에 자유전하가 없을 때, 전계의 세기($E$)는 접선 성분이 연속이고 전속밀도($D$)는 법선 성분이 연속입니다.

Q: 경계면이 $x=0$일 때 법선 성분과 접선 성분은 어떻게 구분하나요?

경계면과 수직인 $x$축 방향 성분이 법선 성분이며, 경계면과 나란한 $y$축 및 $z$축 방향 성분이 접선 성분입니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 유전체
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

x = 0

인 무한평면을 경계면으로 하여

x < 0

인 영역에는 비유전율

ϵ_{r 1} = 2

x > 0

인 영역에는

ϵ_{r 2} = 4

인 유전체가 있다.

ϵ_{r 1}

인 유전체 내에서 전계

E_{1} = 20 a_{x} - 10 a_{y} + 5 a_{z} [V / m]

일 때,

x > 0

인 영역에 있는

ϵ_{r 2}

인 유전체 내에서 전속밀도

D_{2} [C / m^{2}]

는? (단, 경계면상에는 자유전하가 없다고 한다.)

유사 문제 링크

2022-2-q12 2019-1-q4 2015-1-q17 2019-3-q19 2014-1-q6

선택지 분석

D_{2} = ϵ_{0} (20 a_{x} - 40 a_{y} + 5 a_{z})

오답 함정 분석

전계의 법선 성분과 접선 성분의 경계조건을 반대로 적용하여 계산한 오답입니다.

D_{2} = ϵ_{0} (40 a_{x} - 40 a_{y} + 20 a_{z})

정답 상세 해설

유전체 경계조건에 따라 전속밀도의 법선 성분과 전계의 접선 성분이 연속임을 이용하여 영역 2의 전속밀도를 도출합니다.

•

Step 1: 경계면이

x = 0

평면이므로, 법선 성분은

x

성분이고 접선 성분은

y

및

z

성분입니다.

•

Step 2: 전속밀도의 법선 성분은 연속(

D_{1 n} = D_{2 n}

)이므로,

D_{2 x} = D_{1 x} = ϵ_{0} ϵ_{r 1} E_{1 x} = ϵ_{0} \times 2 \times 20 = 40 ϵ_{0}

입니다.

•

Step 3: 전계의 접선 성분은 연속(

E_{1 t} = E_{2 t}

)이므로,

E_{2 y} = E_{1 y} = - 10

E_{2 z} = E_{1 z} = 5

입니다.

•

Step 4: 영역 2의 전속밀도 접선 성분을 구하면

D_{2 y} = ϵ_{0} ϵ_{r 2} E_{2 y} = ϵ_{0} \times 4 \times (- 10) = - 40 ϵ_{0}

D_{2 z} = ϵ_{0} ϵ_{r 2} E_{2 z} = ϵ_{0} \times 4 \times 5 = 20 ϵ_{0}

입니다.

•

Step 5: 따라서 영역 2의 전체 전속밀도는

D_{2} = D_{2 x} a_{x} + D_{2 y} a_{y} + D_{2 z} a_{z} = ϵ_{0} (40 a_{x} - 40 a_{y} + 20 a_{z})

입니다.

D_{2} = ϵ_{0} (80 a_{x} - 20 a_{y} + 10 a_{z})

오답 함정 분석

전속밀도의 접선 성분이 연속이라고 잘못 가정하여 계산한 오답입니다.

D_{2} = ϵ_{0} (40 a_{x} - 20 a_{y} + 20 a_{z})

오답 함정 분석

전계의 접선 성분에 유전율을 곱할 때 영역 1의 유전율을 잘못 적용한 오답입니다.

자주 묻는 질문

유전체 경계조건에서 어떤 성분이 연속인가요?

경계면에 자유전하가 없을 때, 전계의 세기(

E

)는 접선 성분이 연속이고 전속밀도(

D

)는 법선 성분이 연속입니다.

경계면이

x = 0

일 때 법선 성분과 접선 성분은 어떻게 구분하나요?

경계면과 수직인

x

축 방향 성분이 법선 성분이며, 경계면과 나란한

y

축 및

z

축 방향 성분이 접선 성분입니다.

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