상태방정식으로 표시되는 제어계의 천이행렬 $\Phi(t)$는? (단, $\dot{x} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}x + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}u$)

$\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 & t \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & t \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 & t \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

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상태공간해석

전기기사 필기 2017년 3회 65번

Q: 상태 천이 행렬을 구하는 공식은 무엇인가요?

상태 천이 행렬 $\Phi(t)$는 시스템 행렬 $A$에 대하여 $\Phi(t) = \mathcal{L}^{-1}[(sI - A)^{-1}]$ 공식을 사용하거나, 행렬 지수 함수 $e^{At}$를 계산하여 구합니다.

Q: 행렬 지수 함수 $e^{At}$를 테일러 급수로 전개하여 구할 수도 있나요?

네, 가능합니다. $e^{At} = I + At + \frac{1}{2!}A^2t^2 + \cdots$로 전개할 수 있으며, 이 문제의 경우 $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$이므로 $e^{At} = I + At = \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$로 간단히 구할 수 있습니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

상태방정식으로 표시되는 제어계의 천이행렬

Φ (t)

는? (단,

\overset{x}{˙} = (0010) x + (01) u

)

유사 문제 링크

2007-2-q75 2018-2-q69 2017-2-q62 2007-2-q79 2017-2-q67

선택지 분석

(01 t 1)

오답 함정 분석

역행렬 계산 및 역라플라스 변환 과정에서 행렬 원소의 위치를 잘못 배치한 오답입니다.

(10 1 t)

오답 함정 분석

역행렬 계산 시 대각 원소와 비대각 원소의 라플라스 변환 결과를 혼동하여 잘못 적용한 오답입니다.

(10 t 1)

정답 상세 해설

주어진 상태방정식

\overset{x}{˙} = A x + B u

에서 시스템 행렬

A = (0010)

입니다.

•

Step 1: 특성행렬

(s I - A)

를 구합니다.

(s I - A) = (s 0 0 s) - (0010) = (s 0 - 1 s)

•

Step 2: 특성행렬의 역행렬

(s I - A)^{- 1}

를 구합니다.

(s I - A)^{- 1} = \frac{1}{s ^{2} - 0} (s 0 1 s) = (\frac{1}{s} 0 \frac{1}{s ^{2}} \frac{1}{s})

•

Step 3: 역라플라스 변환을 수행하여 상태 천이 행렬

Φ (t)

를 구합니다.

Φ (t) = L^{- 1} [(s I - A)^{- 1}] = L^{- 1} [(\frac{1}{s} 0 \frac{1}{s ^{2}} \frac{1}{s})] = (10 t 1)

(01 t 0)

오답 함정 분석

역행렬 계산 시 주대각 원소의 역라플라스 변환을 누락하거나 잘못 계산한 오답입니다.

자주 묻는 질문

상태 천이 행렬을 구하는 공식은 무엇인가요?

상태 천이 행렬

Φ (t)

는 시스템 행렬

A

에 대하여

Φ (t) = L^{- 1} [(s I - A)^{- 1}]

공식을 사용하거나, 행렬 지수 함수

e^{A t}

를 계산하여 구합니다.

행렬 지수 함수

e^{A t}

를 테일러 급수로 전개하여 구할 수도 있나요?

네, 가능합니다.

e^{A t} = I + A t + \frac{1}{2 !} A^{2} t^{2} + \dots

로 전개할 수 있으며, 이 문제의 경우

A^{2} = (0000)

이므로

e^{A t} = I + A t = (10 t 1)

로 간단히 구할 수 있습니다.

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