샘플값제어

전기기사 필기 2017년 1회 65번

s 평면의 근 $s$와 z 평면의 근 $z$는 $z = e^{sT}$의 관계를 가집니다. 따라서 s 평면의 좌반면(음수 실수부)은 z 평면의 단위 원 내부로, 우반면(양수 실수부)은 단위 원 외부로 매핑됩니다.

Q문제

특성방정식이 다음과 같다. 이를 z 변환하여 z 평면도에 도시할 때 단위 원 밖에 놓일 근은 몇 개인가?

(s + 1) (s + 2) (s - 3) = 0

유사 문제 링크

선택지 분석

s 평면의 우반면에 위치한 근이 존재하므로 단위 원 밖의 근은 0개가 아닙니다.

특성방정식의 근 중 s 평면의 우반면에 위치한 근의 개수와 z 평면의 단위 원 밖에 위치하는 근의 개수는 동일합니다.

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Step 1: 주어진 특성방정식

(s + 1) (s + 2) (s - 3) = 0

을 풀어 s 평면에서의 근을 구합니다. 근은

s = - 1, - 2, 3

입니다.

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Step 2: s 평면과 z 평면의 매핑 관계인

z = e^{s T}

(T는 샘플링 주기, T > 0)를 적용하여 각 근의 크기를 확인합니다.

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Step 3:

s = - 1

일 때

∣ z ∣ = e^{- T} < 1

s = - 2

일 때

∣ z ∣ = e^{- 2 T} < 1

이므로 단위 원 안에 위치합니다. 반면

s = 3

일 때

∣ z ∣ = e^{3 T} > 1

이므로 단위 원 밖에 위치합니다. 따라서 단위 원 밖에 놓일 근은 1개입니다.

단위 원 밖에 놓이는 근은 s 평면의 우반면에 있는 근 1개뿐이므로 2개가 아닙니다.

모든 근이 단위 원 밖에 있는 것이 아니며, s 평면의 좌반면에 있는 2개의 근은 단위 원 안에 위치합니다.

s 평면의 근과 z 평면의 근은 어떤 관계가 있나요?

s 평면의 근

s

와 z 평면의 근

z

는

z = e^{s T}

의 관계를 가집니다. 따라서 s 평면의 좌반면(음수 실수부)은 z 평면의 단위 원 내부로, 우반면(양수 실수부)은 단위 원 외부로 매핑됩니다.