라플라스변환

전기기사 필기 2016년 3회 70번

분모가 $(s+a)^2$ 형태일 경우, 분자를 $s+a$ 형태로 맞추어 $\frac{s+a-a}{(s+a)^2}$ 로 변형한 뒤 $\frac{1}{s+a} - \frac{a}{(s+a)^2}$ 로 분리하여 역변환을 수행합니다.

$\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{s^2}] = t$ 이고, 복소추이 정리에 의해 $s$ 대신 $s+a$ 가 대입되었으므로 $e^{-at}$ 를 곱해주어 $te^{-at}$ 가 됩니다.

Q문제

L^{- 1} [\frac{s}{( s + 1 ) ^{2}}]

는?

유사 문제 링크

선택지 분석

e^{t} - t e^{- t}

분모의 (s+1)을 역변환할 때 지수함수의 부호를 잘못 적용하여 e^t로 계산한 오답입니다.

e^{- t} - t e^{- t}

주어진 라플라스 변환식을 부분분수로 전개하여 역변환이 가능한 형태로 변형하여 풀이합니다.

•

Step 1: 분자를 분모의 형태에 맞추어 변형합니다.

\frac{s}{( s + 1 ) ^{2}} = \frac{s + 1 - 1}{( s + 1 ) ^{2}}

•

Step 2: 식을 두 개의 항으로 분리합니다.

\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{( s + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{( s + 1 ) ^{2}}

•

Step 3: 각 항에 대해 역라플라스 변환을 수행합니다.

L^{- 1} [\frac{1}{s + 1}] = e^{- t}

이고,

L^{- 1} [\frac{1}{( s + 1 ) ^{2}}] = t e^{- t}

입니다.

•

Step 4: 두 결과를 합치면 최종적으로

e^{- t} - t e^{- t}

가 됩니다.

e^{- t} + t e^{- t}

부분분수 전개 과정에서 분자의 부호를 잘못 계산하여 두 항의 합으로 도출한 오답입니다.

e^{- t} + 2 t e^{- t}

부분분수 전개 시 분자의 상수를 잘못 계산하여 두 번째 항의 계수를 2로 도출한 오답입니다.

라플라스 변환에서 분모가 완전제곱식일 때 어떻게 부분분수로 나누나요?

분모가

(s + a)^{2}

형태일 경우, 분자를

s + a

형태로 맞추어

\frac{s + a - a}{( s + a ) ^{2}}

로 변형한 뒤

\frac{1}{s + a} - \frac{a}{( s + a ) ^{2}}

로 분리하여 역변환을 수행합니다.

\frac{1}{( s + a ) ^{2}}

의 역라플라스 변환은 어떻게 되나요?

L^{- 1} [\frac{1}{s ^{2}}] = t

이고, 복소추이 정리에 의해

s

대신

s + a

가 대입되었으므로

e^{- a t}

를 곱해주어

t e^{- a t}

가 됩니다.