라플라스변환

전기기사 필기 2016년 3회 69번

Q: 임펄스 응답을 구할 때 왜 전달함수를 바로 역라플라스 변환하나요?

임펄스 함수의 라플라스 변환값이 1이기 때문입니다. 출력 $C(s)$는 전달함수 $G(s)$와 입력 $R(s)$의 곱인데, $R(s)=1$이므로 $C(s)=G(s)$가 되어 전달함수 자체를 역변환하면 임펄스 응답이 됩니다.

Q: 복소추이 정리란 무엇인가요?

시간 함수에 지수 함수 $e^{-at}$가 곱해지면, 라플라스 변환된 $s$ 영역에서는 $s$ 대신 $s+a$로 이동(추이)한다는 정리입니다. 즉, $\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\} = F(s+a)$로 표현됩니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 회로이론
인지 유형	calculation
난이도	Level 2

Q문제

전달함수

G (s) = \frac{C ( s )}{R ( s )} = \frac{1}{( s + a ) ^{2}}

인 제어계의 임펄스 응답

c (t)

는?

유사 문제 링크

2003-3-q71 2007-2-q63 2007-2-q65 2012-2-q80 2012-2-q77

선택지 분석

e^{- a t}

오답 함정 분석

이 식은 전달함수가 1/(s+a)일 때의 임펄스 응답입니다.

1 - e^{- a t}

오답 함정 분석

이 식은 전달함수가 a/(s(s+a))일 때의 단위 계단 응답과 관련이 있습니다.

t e^{- a t}

정답 상세 해설

제어계의 임펄스 응답은 전달함수의 역라플라스 변환과 같습니다.

•

Step 1: 단위 임펄스 입력

r (t) = δ (t)

의 라플라스 변환은

R (s) = 1

입니다.

•

Step 2: 출력

C (s)

는 전달함수와 입력의 곱이므로

C (s) = G (s) R (s) = \frac{1}{( s + a ) ^{2}} \times 1 = \frac{1}{( s + a ) ^{2}}

입니다.

•

Step 3:

C (s)

를 역라플라스 변환하여 시간 영역의 응답

c (t)

를 구합니다. 기본 공식

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2}}} = t

에 복소추이 정리

L^{- 1} {F (s + a)} = e^{- a t} f (t)

를 적용하면

L^{- 1} {\frac{1}{( s + a ) ^{2}}} = t e^{- a t}

가 됩니다.

\frac{1}{2} t^{2}

오답 함정 분석

이 식은 전달함수가 1/s^3일 때의 임펄스 응답입니다.

자주 묻는 질문

임펄스 응답을 구할 때 왜 전달함수를 바로 역라플라스 변환하나요?

임펄스 함수의 라플라스 변환값이 1이기 때문입니다. 출력

C (s)

는 전달함수

G (s)

와 입력

R (s)

의 곱인데,

R (s) = 1

이므로

C (s) = G (s)

가 되어 전달함수 자체를 역변환하면 임펄스 응답이 됩니다.

복소추이 정리란 무엇인가요?

시간 함수에 지수 함수

e^{- a t}

가 곱해지면, 라플라스 변환된

s

영역에서는

s

대신

s + a

로 이동(추이)한다는 정리입니다. 즉,

L {e^{- a t} f (t)} = F (s + a)

로 표현됩니다.

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