라플라스변환

전기기사 필기 2016년 1회 73번

Q: 콘덴서의 초기 전압은 라플라스 변환 시 어떻게 적용되나요?

콘덴서의 초기 전압 $V_c(0)$는 시간 영역의 KVL 방정식에서 상수로 더해지며, 라플라스 변환 시 $\frac{V_c(0)}{s}$ 형태의 전압원으로 취급하여 계산합니다.

Q: 적분항 $\int i(t) dt$의 라플라스 변환은 어떻게 되나요?

시간 영역에서의 적분은 라플라스 영역에서 $\frac{1}{s}$을 곱하는 것과 같습니다. 따라서 $\int i(t) dt$는 $\frac{I(s)}{s}$로 변환됩니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 회로이론
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

그림에서

t = 0

에서 스위치

S

를 닫았다. 콘덴서에 충전된 초기전압

V_{c} (0)

가

1 [V]

이었다면 전류

i (t)

를 변환한 값

I (s)

는?

유사 문제 링크

2011-1-q73 2012-1-q72 2012-1-q79 2012-1-q80 2003-1-q70

선택지 분석

\frac{3}{2 s + 4}

오답 함정 분석

초기 전압을 고려하지 않고 전원 전압 3V만을 사용하여 식을 세운 오답입니다.

\frac{3}{s ( 2 s + 4 )}

오답 함정 분석

초기 전압을 무시하고, 라플라스 변환 과정에서 s의 차수를 잘못 계산한 오답입니다.

\frac{2}{s ( s + 2 )}

오답 함정 분석

전압 방정식은 올바르게 세웠으나, 전류 I(s)를 구하는 대수적 정리 과정에서 오류가 발생한 오답입니다.

\frac{1}{s + 2}

정답 상세 해설

RC 직렬 회로의 미적분 방정식에 라플라스 변환을 적용하여 전류 I(s)를 구합니다.

•

Step 1: t=0 이후의 회로에 대한 키르히호프의 전압 법칙(KVL) 방정식을 세웁니다.

V = R i (t) + \frac{1}{C} \int_{0}^{t} i (τ) d τ + V_{c} (0)

입니다.

•

Step 2: 주어진 값(

V = 3

R = 2

C = 1/4

V_{c} (0) = 1

)을 대입합니다.

3 = 2 i (t) + 4 \int_{0}^{t} i (τ) d τ + 1

이며, 정리하면

2 = 2 i (t) + 4 \int_{0}^{t} i (τ) d τ

가 됩니다.

•

Step 3: 양변을 라플라스 변환합니다.

\frac{2}{s} = 2 I (s) + \frac{4}{s} I (s)

가 됩니다.

•

Step 4: I(s)에 대해 식을 정리합니다.

\frac{2}{s} = I (s) (\frac{2 s + 4}{s})

이므로,

I (s) = \frac{2}{2 s + 4} = \frac{1}{s + 2}

입니다.

자주 묻는 질문

콘덴서의 초기 전압은 라플라스 변환 시 어떻게 적용되나요?

콘덴서의 초기 전압

V_{c} (0)

는 시간 영역의 KVL 방정식에서 상수로 더해지며, 라플라스 변환 시

\frac{V _{c} ( 0 )}{s}

형태의 전압원으로 취급하여 계산합니다.

적분항

\int i (t) d t

의 라플라스 변환은 어떻게 되나요?

시간 영역에서의 적분은 라플라스 영역에서

\frac{1}{s}

을 곱하는 것과 같습니다. 따라서

\int i (t) d t

는

\frac{I ( s )}{s}

로 변환됩니다.

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