반지름 $a, b(b>a)[m]$의 동심 구도체 사이에 유전율 $\epsilon[F/m]$의 유전체가 채워졌을 때의 정전 용량은 몇 $[F]$인가?

$\frac{\pi \epsilon}{\ln \frac{b}{a}}$

$\frac{\ln \frac{b}{a}}{\pi \epsilon}$

정전용량

전기기사 필기 2015년 3회 2번

Q: 단일 구도체의 정전용량은 어떻게 구하나요?

단일 구도체의 정전용량은 동심 구도체에서 외구의 반지름 $b$가 무한대($\infty$)인 경우와 같습니다. 따라서 $b \to \infty$ 극한을 취하면 $C = 4\pi \epsilon a$가 됩니다.

Q: 동심 구도체에서 외구를 접지하지 않은 경우 정전용량은 어떻게 되나요?

외구를 접지하지 않고 독립된 동심 구도체로 볼 경우, 외구 외부의 정전용량 $4\pi \epsilon b$가 직렬로 추가될 수 있습니다. 하지만 일반적으로 '동심 구도체 사이의 정전용량'을 물을 때는 내구와 외구 사이만의 용량을 의미하므로 $\frac{4\pi \epsilon ab}{b-a}$가 됩니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 도체계
인지 유형	calculation
난이도	Level 2

Q문제

반지름

a, b (b > a) [m]

의 동심 구도체 사이에 유전율

ϵ [F / m]

의 유전체가 채워졌을 때의 정전 용량은 몇

[F]

인가?

유사 문제 링크

2017-2-q18 2003-3-q3 2018-2-q2 2017-3-q2 2003-3-q2

선택지 분석

\frac{π ϵ}{l n \frac{b}{a}}

오답 함정 분석

동축 원통 도체의 정전용량 공식 형태와 혼동하여 유도된 잘못된 수식입니다.

\frac{l n \frac{b}{a}}{π ϵ}

오답 함정 분석

정전용량의 차원과 맞지 않으며, 동축 원통 도체 관련 공식을 잘못 변형한 오답입니다.

\frac{4 π ϵ ab}{b - a}

정답 상세 해설

동심 구도체 사이의 정전용량은 내구와 외구 사이의 전위차를 구하여 계산합니다.

•

Step 1: 내구에

+ Q

, 외구에

- Q

의 전하가 있다고 가정할 때, 가우스의 정리에 의해 반경

r

(

a < r < b

)인 지점의 전계의 세기

E

는

E = \frac{Q}{4 π ϵ r ^{2}}

입니다.

•

Step 2: 내구와 외구 사이의 전위차

V

를 구합니다.

V = - \int_{b}^{a} E d r = \int_{a}^{b} \frac{Q}{4 π ϵ r ^{2}} d r = \frac{Q}{4 π ϵ} [- \frac{1}{r}]_{a}^{b} = \frac{Q}{4 π ϵ} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) = \frac{Q}{4 π ϵ} \frac{b - a}{ab}

입니다.

•

Step 3: 정전용량

C

는

C = \frac{Q}{V}

공식을 이용하여 구합니다.

C = \frac{Q}{\frac{Q}{4 π ϵ} \frac{b - a}{ab}} = \frac{4 π ϵ ab}{b - a}

입니다.

4 π ϵ \frac{a - b}{ab}

오답 함정 분석

분자의

b - a

가

a - b

로 뒤바뀌어 정전용량이 음수 값이 나오게 되는 잘못된 수식입니다.

자주 묻는 질문

단일 구도체의 정전용량은 어떻게 구하나요?

단일 구도체의 정전용량은 동심 구도체에서 외구의 반지름

b

가 무한대(

\infty

)인 경우와 같습니다. 따라서

b \to \infty

극한을 취하면

C = 4 π ϵ a

가 됩니다.

동심 구도체에서 외구를 접지하지 않은 경우 정전용량은 어떻게 되나요?

외구를 접지하지 않고 독립된 동심 구도체로 볼 경우, 외구 외부의 정전용량

4 π ϵ b

가 직렬로 추가될 수 있습니다. 하지만 일반적으로 '동심 구도체 사이의 정전용량'을 물을 때는 내구와 외구 사이만의 용량을 의미하므로

\frac{4 π ϵ ab}{b - a}

가 됩니다.

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