라플라스변환

전기기사 필기 2015년 1회 63번

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$입니다. 이를 통해 $\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta)$로 변환할 수 있습니다.

Q문제

f (t) = sin t \cdot cos t

를 라플라스 변환하면?

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{1}{s ^{2} + 1 ^{2}}

삼각함수의 배각 공식을 적용하지 않고 잘못된 주파수 상수를 사용하여 도출한 오답입니다.

\frac{1}{s ^{2} + 2 ^{2}}

주어진 함수

f (t) = sin t \cdot cos t

의 라플라스 변환을 구하는 문제입니다.

•

Step 1: 삼각함수의 배각 공식을 이용하여 주어진 함수를 변환합니다.

sin (2 t) = 2 sin t cos t

이므로,

f (t) = \frac{1}{2} sin (2 t)

입니다.

•

Step 2: 라플라스 변환 공식

L {sin (a t)} = \frac{a}{s ^{2} + a ^{2}}

를 적용합니다.

•

Step 3:

L {\frac{1}{2} sin (2 t)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{s ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{1}{s ^{2} + 2 ^{2}}

가 됩니다.

\frac{1}{( s + 2 ) ^{2}}

지수 감쇠 함수

t e^{- 2 t}

의 라플라스 변환 형태와 혼동하여 도출한 오답입니다.

\frac{1}{( s + 4 ^{2} )}

라플라스 변환 공식을 잘못 적용하여 분모의 형태를 잘못 구성한 오답입니다.

sin t \cdot cos t

를 바로 라플라스 변환할 수는 없나요?

두 함수의 곱에 대한 라플라스 변환은 복잡한 합성곱(Convolution) 정리를 사용해야 하므로, 삼각함수 배각 공식을 이용해 하나의 항으로 변환한 뒤 계산하는 것이 훨씬 효율적입니다.

삼각함수의 배각 공식은 무엇인가요?

sin (2 θ) = 2 sin θ cos θ

입니다. 이를 통해

sin θ cos θ = \frac{1}{2} sin (2 θ)

로 변환할 수 있습니다.