샘플값제어

전기기사 필기 2015년 1회 61번

Q문제

다음 중

f (t) = e^{- a t}

의 z변환은?

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{1}{z - e ^{- a t}}

분자에 z가 누락되었으며, 지수부의 변수 t가 샘플링 주기 T로 치환되지 않은 형태입니다.

\frac{1}{z + e ^{- a t}}

분자에 z가 누락되었고 분모의 부호가 잘못되었으며, 변수 t가 T로 치환되지 않았습니다.

\frac{z}{z - e ^{- a T}}

지수 함수

f (t) = e^{- a t}

의 Z변환은

\frac{z}{z - e ^{- a T}}

입니다.

•

Step 1: 샘플링 주기

T

에 따른 이산 시간 함수

f (n T)

를 구합니다.

f (n T) = e^{- an T} = (e^{- a T})^{n}

입니다.

•

Step 2: Z변환의 정의식

F (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} f (n T) z^{- n}

에 대입합니다.

F (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} (e^{- a T} z^{- 1})^{n}

이 됩니다.

•

Step 3: 무한 등비급수의 합 공식

\frac{1}{1 - r}

을 적용하여 정리합니다.

F (z) = \frac{1}{1 - e ^{- a T} z ^{- 1}} = \frac{z}{z - e ^{- a T}}

가 산출됩니다.

\frac{z}{z + e ^{- a T}}

분모의 지수항 앞 부호가 플러스(+)로 잘못 표기된 형태입니다.

Z변환에서 T는 무엇을 의미하나요?

T는 샘플링 주기(Sampling Period)를 의미하며, 연속 시간 신호를 이산 시간 신호로 변환할 때의 시간 간격을 나타냅니다.

지수 함수의 Z변환 결과에서 분모의 부호는 왜 마이너스(-)인가요?

무한 등비급수의 합 공식인 1/(1-r)에서 공비 r이 e^(-aT)z^(-1)이므로, 분모는 1 - e^(-aT)z^(-1)이 되어 마이너스 부호를 가집니다.