비정현파교류

전기기사 필기 2014년 3회 72번

구형파 펄스를 푸리에 변환하면 항상 $\frac{\sin(x)}{x}$ 형태인 싱크(sinc) 함수 형태의 스펙트럼을 가집니다.

Q문제

계단함수의 주파수 연속 스펙트럼은?

유사 문제 링크

선택지 분석

A T_{p} ∣ \frac{c o s ( w T _{p} /2 )}{w T _{p} /2} ∣

푸리에 변환 결과는 코사인 함수가 아닌 사인 함수 형태를 가집니다.

A T_{p} ∣ sin (w T_{p} /2) ∣

분모에 있어야 할

w T_{p} /2

항이 누락되었습니다.

A T_{p} ∣ \frac{s i n ( w T _{p} /2 )}{w T _{p} /2} ∣

주어진 계단함수의 주파수 연속 스펙트럼은 푸리에 변환의 크기를 구하여 도출합니다.

•

Step 1: 주어진 함수

f (t)

는

0 \leq t \leq T_{p}

구간에서 진폭이

A

이고, 나머지 구간에서는

0

인 구형파 펄스입니다.

•

Step 2:

f (t)

의 푸리에 변환

F (w)

를 구합니다.

F (w) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j w t} d t = \int_{0}^{T_{p}} A e^{- j w t} d t = \frac{A}{- j w} [e^{- j w t}]_{0}^{T_{p}} = \frac{A}{- j w} (e^{- j w T_{p}} - 1)

입니다.

•

Step 3: 오일러 공식을 이용하여 식을 정리합니다.

F (w) = \frac{A}{j w} e^{- j w T_{p} /2} (e^{j w T_{p} /2} - e^{- j w T_{p} /2}) = \frac{A}{j w} e^{- j w T_{p} /2} (2 j sin (w T_{p} /2)) = \frac{2 A}{w} sin (w T_{p} /2) e^{- j w T_{p} /2}

입니다.

•

Step 4: 식의 분모와 분자에

T_{p} /2

를 곱하여 싱크 함수(sinc function) 형태로 변환합니다.

F (w) = A T_{p} \frac{s i n ( w T _{p} /2 )}{w T _{p} /2} e^{- j w T_{p} /2}

입니다.

•

Step 5: 주파수 연속 스펙트럼은 진폭 스펙트럼

∣ F (w) ∣

를 의미하므로, 크기를 구하면

∣ F (w) ∣ = A T_{p} ∣ \frac{s i n ( w T _{p} /2 )}{w T _{p} /2} ∣

가 됩니다.

\frac{s i n ( w T _{p} /2 )}{w T _{p} /2}

전체 진폭을 결정하는

A T_{p}

계수가 누락되었습니다.

주파수 연속 스펙트럼이란 무엇인가요?

비주기 신호를 푸리에 변환했을 때 얻어지는 주파수 영역의 함수 크기(진폭 스펙트럼)를 의미합니다.

구형파 펄스의 푸리에 변환 결과는 항상 어떤 형태를 가지나요?

구형파 펄스를 푸리에 변환하면 항상

\frac{s i n ( x )}{x}

형태인 싱크(sinc) 함수 형태의 스펙트럼을 가집니다.