라플라스변환

전기기사 필기 2014년 3회 65번

Q문제

다음과 같은 시스템의 전달함수를 미분 방정식의 형태로 나타낸 것은?

G (s) = \frac{Y ( s )}{X ( s )} = \frac{3}{( s + 1 ) ( s - 2 )}

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{d ^{2}}{d t ^{2}} x (t) + \frac{d}{d t} x (t) - 2 x (t) = 3 y (t)

입력 X(s)와 출력 Y(s)의 위치를 반대로 적용하여 전개한 오답입니다.

\frac{d ^{2}}{d t ^{2}} y (t) + \frac{d}{d t} y (t) - 2 y (t) = 3 x (t)

분모의 다항식을 전개할 때 1차항의 부호를 양수(+)로 잘못 계산한 오답입니다.

\frac{d ^{2}}{d t ^{2}} y (t) - \frac{d}{d t} y (t) - 2 y (t) = 3 x (t)

주어진 전달함수를 역라플라스 변환하여 미분 방정식으로 나타내면 정답이 도출됩니다.

•

Step 1: 주어진 전달함수의 분모를 전개합니다.

G (s) = \frac{Y ( s )}{X ( s )} = \frac{3}{( s + 1 ) ( s - 2 )} = \frac{3}{s ^{2} - s - 2}

•

Step 2: 양변을 교차로 곱하여 식을 정리합니다.

(s^{2} - s - 2) Y (s) = 3 X (s)

s^{2} Y (s) - s Y (s) - 2 Y (s) = 3 X (s)

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Step 3: 모든 초기 조건을 0으로 가정하고 역라플라스 변환을 수행합니다. 라플라스 변환의 미분 정리에 의해

s^{n} Y (s)

는

\frac{d ^{n}}{d t ^{n}} y (t)

로 변환됩니다.

\frac{d ^{2}}{d t ^{2}} y (t) - \frac{d}{d t} y (t) - 2 y (t) = 3 x (t)

\frac{d ^{2}}{d t ^{2}} y (t) + \frac{d}{d t} y (t) + 2 y (t) = 3 x (t)

분모의 다항식을 전개할 때 1차항과 상수항의 부호를 모두 양수(+)로 잘못 계산한 오답입니다.

전달함수에서 미분 방정식으로 변환할 때 초기 조건은 어떻게 처리하나요?

전달함수 자체가 모든 초기 조건을 0으로 가정하고 정의된 것이므로, 역라플라스 변환 시에도 초기 조건은 0으로 간주하여 변환합니다.

라플라스 변환에서 s를 곱하는 것은 시간 영역에서 어떤 의미인가요?

라플라스 영역에서 s를 곱하는 것은 시간 영역에서 시간에 대한 1계 미분을 의미합니다. 따라서 s의 제곱은 2계 미분이 됩니다.