상태공간해석

전기기사 필기 2014년 3회 61번

상태방정식 $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}u$에서 상태변수 벡터 $\mathbf{x}$에 곱해지는 행렬 $\mathbf{A}$를 시스템 매트릭스(계수 행렬)라고 합니다.

Q문제

\frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} + \frac{d x}{d t} + 2 x = 2 u

의 상태 변수를

x_{1} = x, x_{2} = \frac{d x}{d t}

라 할 때, 시스템 매트릭스(system matrix)는?

유사 문제 링크

선택지 분석

(0111)

미분방정식의 계수를 이항할 때 부호를 반대로 적용하고 계수 값도 잘못 대입한 오답입니다.

(0211)

미분방정식의 계수를 우변으로 이항할 때 마이너스(-) 부호를 취하지 않은 오답입니다.

(0 - 2 1 - 1)

주어진 2차 미분방정식을 1차 연립 미분방정식으로 변환하여 시스템 매트릭스를 구하는 문제입니다.

•

Step 1: 상태변수의 1차 미분 구하기 주어진 상태변수

x_{1} = x

x_{2} = \frac{d x}{d t}

를 미분합니다.

\frac{d x _{1}}{d t} = \frac{d x}{d t} = x_{2}

\frac{d x _{2}}{d t} = \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}}

•

Step 2: 원래의 미분방정식에 대입하여 정리하기 주어진 식

\frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} + \frac{d x}{d t} + 2 x = 2 u

를 최고차항에 대해 정리합니다.

\frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} = - 2 x - \frac{d x}{d t} + 2 u

여기에 상태변수를 대입하면 다음과 같습니다.

\frac{d x _{2}}{d t} = - 2 x_{1} - x_{2} + 2 u

•

Step 3: 상태방정식을 행렬 형태로 표현하기 구해진 1차 미분방정식들을 행렬식

\dot{x} = Ax + B u

형태로 나타냅니다.

(\frac{d x _{1}}{d t} \frac{d x _{2}}{d t}) = (0 - 2 1 - 1) (x_{1} x_{2}) + (02) u

따라서 시스템 매트릭스

A

는

(0 - 2 1 - 1)

입니다.

(0110)

미분방정식의 계수를 상태방정식 행렬에 완전히 잘못 대입한 오답입니다.

시스템 매트릭스란 무엇인가요?

상태방정식

\dot{x} = Ax + B u

에서 상태변수 벡터

x

에 곱해지는 행렬

A

를 시스템 매트릭스(계수 행렬)라고 합니다.

상태변수를 설정하여 방정식을 변환하는 이유는 무엇인가요?

고차 미분방정식을 여러 개의 1차 연립 미분방정식 형태로 변환함으로써, 행렬을 이용한 수학적 해석과 컴퓨터 연산을 용이하게 하기 위함입니다.