상태 천이 행렬 $\Phi(t)$는 어떻게 정의되나요?

행렬 지수 함수인 $e^{At}$로 정의되며, 라플라스 변환을 이용하면 $\mathcal{L}^{-1}[(sI-A)^{-1}]$로 계산할 수 있습니다.

상태공간해석

전기기사 필기 2005년 1회 75번

Q: 적분 구간이 $t_0$부터 $t$까지인 이유는 무엇인가요?

시스템의 현재 상태 $X(t)$는 관찰 시작 시점인 $t_0$ 이후부터 현재 시점 $t$까지 가해진 입력 $u(\gamma)$의 누적 효과를 반영해야 하기 때문입니다.

Q: 상태 천이 행렬의 주요 성질에는 어떤 것이 있나요?

$\Phi(0) = I$(단위 행렬)이며, $\Phi(t_1 + t_2) = \Phi(t_1)\Phi(t_2)$ 및 $\Phi^{-1}(t) = \Phi(-t)$ 등의 성질을 가집니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	memory
난이도	Level 3

Q문제

선형 시불변 시스템의 상태 방정식이

\frac{d}{d t} X (t) = A X (t) + B u (t)

로 표시될 때,

t > t_{0}

에 대한 상태 천이방정식(state transition equation)의 식이 올바르게 표시된 것은? (단,

Φ (t)

는 일치하는 상태 천이 행렬이다.)

유사 문제 링크

2007-1-q78 2019-2-q70 2015-3-q62 2018-1-q68 2005-1-q74

선택지 분석

X (t) = Φ (t) X (t_{0}) + \int_{0}^{t} Φ (t - γ) B u (γ) d γ

오답 함정 분석

초기 시간이

t_{0}

임에도 불구하고 상태 천이 행렬의 시간 인수를

t

로 설정하고 적분 구간을

0

부터 시작하여 시간적 정합성이 맞지 않습니다.

X (t) = Φ (t - t_{0}) X (0) + \int_{0}^{t_{0}} Φ (t - γ) u (t) d γ

오답 함정 분석

초기 상태를

X (0)

으로 잘못 표기하였으며, 적분 구간을

0

에서

t_{0}

까지로 설정하여

t > t_{0}

구간의 입력을 반영하지 못합니다.

X (t) = Φ (t - t_{0}) X (t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} Φ (t - γ) B u (γ) d γ

정답 상세 해설

상태 천이 방정식은 초기 상태에 의한 자유 응답과 외력(입력)에 의한 강제 응답의 합으로 결정됩니다. 초기 시점이

t_{0}

인 경우, 시간 이동(Time-shift)을 고려하여 식을 구성해야 합니다.

•

Step 1: 제차 방정식

\dot{X} (t) = A X (t)

의 해는 초기 상태

X (t_{0})

에 상태 천이 행렬을 곱한

X_{z i} (t) = e^{A (t - t_{0})} X (t_{0})

이며, 이는

Φ (t - t_{0}) X (t_{0})

와 같습니다.

•

Step 2: 비제차 방정식의 특수해인 입력에 의한 응답은 컨벌루션 적분 형태를 취합니다. 초기 시점

t_{0}

부터 현재 시점

t

까지의 입력

u (γ)

를 반영하므로

\int_{t_{0}}^{t} e^{A (t - γ)} B u (γ) d γ

가 됩니다.

•

Step 3: 전체 응답

X (t)

는 위 두 성분의 합이므로

X (t) = Φ (t - t_{0}) X (t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} Φ (t - γ) B u (γ) d γ

가 최종적인 상태 천이 방정식이 됩니다.

X (t) = Φ (t - t_{0}) X (t_{0}) + \int_{0}^{t} Φ (t - t_{0}) B u (t) d γ

오답 함정 분석

적분 기호 내부의 상태 천이 행렬이 적분 변수

γ

에 독립적인

Φ (t - t_{0})

로 고정되어 있어 컨벌루션 적분 원리에 어긋납니다.

자주 묻는 질문

상태 천이 행렬

Φ (t)

는 어떻게 정의되나요?

행렬 지수 함수인

e^{A t}

로 정의되며, 라플라스 변환을 이용하면

L^{- 1} [(s I - A)^{- 1}]

로 계산할 수 있습니다.

적분 구간이

t_{0}

부터

t

까지인 이유는 무엇인가요?

시스템의 현재 상태

X (t)

는 관찰 시작 시점인

t_{0}

이후부터 현재 시점

t

까지 가해진 입력

u (γ)

의 누적 효과를 반영해야 하기 때문입니다.

상태 천이 행렬의 주요 성질에는 어떤 것이 있나요?

Φ (0) = I

(단위 행렬)이며,

Φ (t_{1} + t_{2}) = Φ (t_{1}) Φ (t_{2})

및

Φ^{- 1} (t) = Φ (- t)

등의 성질을 가집니다.

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