라플라스변환

전기기사 필기 2014년 2회 78번

초기조건이 0이 아니라면 라플라스 변환 시 $s^2X(s) - sx(0) - x'(0)$와 같이 초기값 항을 포함하여 식을 전개해야 합니다.

분모를 0으로 만드는 $s$ 값을 대입하는 헤비사이드 부분분수 전개법을 사용하거나, 양변의 계수를 비교하여 연립방정식을 풀어 구합니다.

Q문제

\frac{d ^{2} x ( t )}{d t ^{2}} + 2 \frac{d x ( t )}{d t} + x (t) = 1

에서

x (t)

는 얼마인가? (단,

x (0) = x^{'} (0) = 0

이다.)

유사 문제 링크

선택지 분석

t e^{- t} - e^{t}

부분분수 전개 및 역라플라스 변환 과정에서 부호와 항을 잘못 계산한 오답입니다.

t^{- t} + e^{- t}

상수항을 누락하고 역라플라스 변환의 형태를 잘못 적용한 오답입니다.

1 - t e^{- t} - e^{- t}

주어진 미분방정식을 라플라스 변환을 이용하여 풀이한 결과입니다.

•

Step 1: 양변을 라플라스 변환합니다. 초기조건

x (0) = x^{'} (0) = 0

을 적용하면

(s^{2} + 2 s + 1) X (s) = \frac{1}{s}

이 됩니다.

•

Step 2:

X (s)

에 대해 정리하면

X (s) = \frac{1}{s ( s + 1 ) ^{2}}

입니다.

•

Step 3: 부분분수로 전개합니다.

\frac{1}{s ( s + 1 ) ^{2}} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 1} + \frac{C}{( s + 1 ) ^{2}}

에서

A = 1, B = - 1, C = - 1

을 구하여

X (s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{( s + 1 ) ^{2}}

이 됩니다.

•

Step 4: 역라플라스 변환을 수행합니다.

L^{- 1} {\frac{1}{s}} = 1

L^{- 1} {\frac{1}{s + 1}} = e^{- t}

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2}}} = t e^{- t}

이므로

x (t) = 1 - e^{- t} - t e^{- t}

가 도출됩니다.

1 + t e^{- t} + e^{- t}

부분분수 전개 시 계수의 부호를 잘못 판별하여 도출된 오답입니다.

초기조건이 0이 아닐 경우에는 어떻게 계산하나요?

초기조건이 0이 아니라면 라플라스 변환 시

s^{2} X (s) - s x (0) - x^{'} (0)

와 같이 초기값 항을 포함하여 식을 전개해야 합니다.

부분분수 전개에서 계수는 어떻게 구하나요?

분모를 0으로 만드는

s

값을 대입하는 헤비사이드 부분분수 전개법을 사용하거나, 양변의 계수를 비교하여 연립방정식을 풀어 구합니다.