66. 2차 제어계에서 공진주파수($\omega_m$)와 고유주파수($\omega_n$), 감쇠비($\zeta$) 사이의 관계로 옳은 것은?

$\omega_m = \omega_n \sqrt{1 - 2\zeta^2}$

$\omega_m = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}$

$\omega_m = \omega_n \sqrt{1 + \zeta^2}$

$\omega_m = \omega_n \sqrt{1 - 2\zeta^2}$

$\omega_m = \omega_n \sqrt{1 + 2\zeta^2}$

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정상오차와 주파수응답

전기기사 필기 2014년 2회 66번

Q: 공진주파수와 감쇠 고유주파수의 차이는 무엇인가요?

공진주파수($\omega_m$)는 주파수 응답에서 크기가 최대가 되는 주파수이며 $\omega_n \sqrt{1 - 2\zeta^2}$로 계산됩니다. 반면, 감쇠 고유주파수($\omega_d$)는 시간 영역의 과도 응답에서 진동하는 주파수이며 $\omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}$로 계산됩니다.

Q: 감쇠비($\zeta$)가 0.707보다 크면 공진주파수는 어떻게 되나요?

감쇠비 $\zeta > \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$인 경우, 근호 안의 값이 음수가 되어 실수인 공진주파수가 존재하지 않습니다. 이 경우 주파수 응답에서 공진 피크가 발생하지 않습니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

66. 2차 제어계에서 공진주파수(

ω_{m}

)와 고유주파수(

ω_{n}

), 감쇠비(

ζ

) 사이의 관계로 옳은 것은?

유사 문제 링크

2008-3-q73 2004-1-q71 2008-2-q75 2016-1-q70 2011-1-q70

선택지 분석

ω_{m} = ω_{n} 1 - ζ^{2}

오답 함정 분석

이 식은 주파수 응답의 공진주파수가 아닌, 시간 영역 과도 응답의 감쇠 고유주파수(\omega_d)를 나타냅니다.

ω_{m} = ω_{n} 1 + ζ^{2}

오답 함정 분석

부호와 계수가 모두 잘못된 수식으로, 제어계에서 물리적 의미가 없는 오답입니다.

ω_{m} = ω_{n} 1 - 2 ζ^{2}

정답 상세 해설

2차 제어계의 주파수 응답에서 공진주파수

ω_{m}

은 고유주파수

ω_{n}

과 감쇠비

ζ

에 의해

ω_{m} = ω_{n} 1 - 2 ζ^{2}

로 결정됩니다.

•

Step 1: 2차 제어계의 폐루프 전달함수

M (j ω)

의 크기를 구합니다.

∣ M (j ω) ∣ = \frac{1}{( 1 - ( \frac{ω}{ω _{n}} ) ^{2} ) ^{2} + ( 2 ζ \frac{ω}{ω _{n}} ) ^{2}}

입니다.

•

Step 2: 공진주파수

ω_{m}

은

∣ M (j ω) ∣

가 최대가 되는 주파수입니다. 분모가 최소가 되는 조건을 찾기 위해 분모의 근호 안의 식을

u = (\frac{ω}{ω _{n}})^{2}

로 치환하여

u

에 대해 미분합니다.

•

Step 3: 미분한 식을 0으로 놓으면

u = 1 - 2 ζ^{2}

이 됩니다. 따라서

(\frac{ω _{m}}{ω _{n}})^{2} = 1 - 2 ζ^{2}

이므로,

ω_{m} = ω_{n} 1 - 2 ζ^{2}

이 도출됩니다.

ω_{m} = ω_{n} 1 + 2 ζ^{2}

오답 함정 분석

공진주파수 도출 과정에서 미분 후 정리할 때 부호를 반대로 착각하도록 유도한 오답입니다.

자주 묻는 질문

공진주파수와 감쇠 고유주파수의 차이는 무엇인가요?

공진주파수(

ω_{m}

)는 주파수 응답에서 크기가 최대가 되는 주파수이며

ω_{n} 1 - 2 ζ^{2}

로 계산됩니다. 반면, 감쇠 고유주파수(

ω_{d}

)는 시간 영역의 과도 응답에서 진동하는 주파수이며

ω_{n} 1 - ζ^{2}

로 계산됩니다.

감쇠비(

ζ

)가 0.707보다 크면 공진주파수는 어떻게 되나요?

감쇠비

ζ > \frac{1}{2} \approx 0.707

인 경우, 근호 안의 값이 음수가 되어 실수인 공진주파수가 존재하지 않습니다. 이 경우 주파수 응답에서 공진 피크가 발생하지 않습니다.

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