$\begin{bmatrix} \dot{X}_1 \\ \dot{X}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \end{bmatrix}$ 로 표현되는 시스템의 상태 천이행렬(state-transition matrix) $\phi(t)$를 구하시오.

$\begin{bmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -2e^{-t} + 2e^{-2t} & e^{-t} + 2e^{-2t} \\ 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} e^{-2t} + 2e^{-t} & e^{-2t} + e^{-t} \\ 2e^{-2t} + 2e^{-t} & 2e^{-2t} - e^{-t} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -2e^{-2t} + 2e^{-t} & 2e^{-2t} + e^{-t} \\ e^{-2t} - 2e^{-t} & e^{-2t} + e^{-t} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{bmatrix}$

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상태공간해석

전기기사 필기 2004년 1회 71번

Q: 상태 천이행렬을 구하는 공식은 무엇인가요?

상태 천이행렬 $\phi(t)$는 라플라스 변환을 이용하여 $\phi(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ (sI - A)^{-1} \}$로 구합니다.

Q: 역행렬을 구할 때 행렬식은 어떻게 계산하나요?

2x2 행렬 $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$의 역행렬은 $\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$로 계산합니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

[\dot{X}_{1} \dot{X}_{2}] = [0 - 2 1 - 3] [X_{1} X_{2}]

로 표현되는 시스템의 상태 천이행렬(state-transition matrix)

ϕ (t)

를 구하시오.

유사 문제 링크

2008-2-q75 2016-1-q70 2011-1-q70 2006-2-q71 2007-3-q80

선택지 분석

[- 2 e^{- t} + 2 e^{- 2 t} 2 e^{- t} - e^{- 2 t} e^{- t} + 2 e^{- 2 t} e^{- t} - e^{- 2 t}]

오답 함정 분석

부분분수 전개 시 계수를 잘못 계산하여 각 원소의 부호와 값이 틀린 오답입니다.

[e^{- 2 t} + 2 e^{- t} 2 e^{- 2 t} + 2 e^{- t} e^{- 2 t} + e^{- t} 2 e^{- 2 t} - e^{- t}]

오답 함정 분석

역 라플라스 변환 과정에서 지수함수의 부호를 양수로 잘못 적용한 오답입니다.

[- 2 e^{- 2 t} + 2 e^{- t} e^{- 2 t} - 2 e^{- t} 2 e^{- 2 t} + e^{- t} e^{- 2 t} + e^{- t}]

오답 함정 분석

역 라플라스 변환 시

e^{- t}

와

e^{- 2 t}

의 계수 위치를 혼동하여 도출된 오답입니다.

[2 e^{- t} - e^{- 2 t} - 2 e^{- t} + 2 e^{- 2 t} e^{- t} - e^{- 2 t} - e^{- t} + 2 e^{- 2 t}]

정답 상세 해설

상태 천이행렬

ϕ (t)

는

L^{- 1} {(s I - A)^{- 1}}

공식을 통해 구합니다.

•

Step 1: 특성행렬

(s I - A)

를 계산합니다.

s I - A = [s 0 0 s] - [0 - 2 1 - 3] = [s 2 - 1 s + 3]

•

Step 2:

(s I - A)

의 역행렬을 구합니다. 행렬식

Δ = s (s + 3) - (- 1) (2) = s^{2} + 3 s + 2 = (s + 1) (s + 2)

입니다.

(s I - A)^{- 1} = \frac{1}{( s + 1 ) ( s + 2 )} [s + 3 - 2 1 s] = [\frac{s + 3}{( s + 1 ) ( s + 2 )} \frac{- 2}{( s + 1 ) ( s + 2 )} \frac{1}{( s + 1 ) ( s + 2 )} \frac{s}{( s + 1 ) ( s + 2 )}]

•

Step 3: 각 원소를 부분분수로 전개한 후 역 라플라스 변환을 수행합니다. 1행 1열:

\frac{s + 3}{( s + 1 ) ( s + 2 )} = \frac{2}{s + 1} - \frac{1}{s + 2} \Rightarrow 2 e^{- t} - e^{- 2 t}

1행 2열:

\frac{1}{( s + 1 ) ( s + 2 )} = \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{s + 2} \Rightarrow e^{- t} - e^{- 2 t}

2행 1열:

\frac{- 2}{( s + 1 ) ( s + 2 )} = \frac{- 2}{s + 1} + \frac{2}{s + 2} \Rightarrow - 2 e^{- t} + 2 e^{- 2 t}

2행 2열:

\frac{s}{( s + 1 ) ( s + 2 )} = \frac{- 1}{s + 1} + \frac{2}{s + 2} \Rightarrow - e^{- t} + 2 e^{- 2 t}

•

따라서 상태 천이행렬

ϕ (t) = [2 e^{- t} - e^{- 2 t} - 2 e^{- t} + 2 e^{- 2 t} e^{- t} - e^{- 2 t} - e^{- t} + 2 e^{- 2 t}]

입니다.

자주 묻는 질문

상태 천이행렬을 구하는 공식은 무엇인가요?

상태 천이행렬

ϕ (t)

는 라플라스 변환을 이용하여

ϕ (t) = L^{- 1} {(s I - A)^{- 1}}

로 구합니다.

역행렬을 구할 때 행렬식은 어떻게 계산하나요?

2x2 행렬

[a c b d]

의 역행렬은

\frac{1}{a d - b c} [d - c - b a]

로 계산합니다.

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