안정도판별법

전기기사 필기 2011년 1회 70번

Q문제

G (s) H (s) = \frac{20}{s ( s - 1 ) ( s + 2 )}

인 계의 이득 여유는?

유사 문제 링크

선택지 분석

- 20 [d B]

주어진 개루프 전달함수의 특성 방정식을 세우고 루스(Routh) 판별법을 통해 임계 이득을 구하여 이득 여유를 계산합니다.

•

Step 1: 특성 방정식

1 + G (s) H (s) = 0

을 구성합니다.

1 + \frac{K}{s ( s - 1 ) ( s + 2 )} = 0 \Rightarrow s^{3} + s^{2} - 2 s + K = 0

입니다.

•

Step 2: 루스(Routh) 배열을 작성하고 임계 이득

K_{c}

를 구합니다.

s^{1}

행의 요소는

\frac{1 \cdot ( - 2 ) - 1 \cdot K}{1} = - 2 - K

입니다. 임계 상태에서

s^{1}

행이 0이 되어야 하므로,

- 2 - K_{c} = 0

에서

K_{c} = - 2

입니다.

•

Step 3: 주어진 이득

K = 20

을 이용하여 이득 여유(GM)를 계산합니다.

GM = 20 lo g_{10} \frac{K _{c}}{K} = 20 lo g_{10} \frac{- 2}{20} = 20 lo g_{10} (0.1) = - 20 [d B]

입니다.

- 10 [d B]

임계 이득과 주어진 이득의 비율 계산을 잘못 수행하여 도출된 오답입니다.

1 [d B]

이득 여유 계산 공식을 적용하지 않고 임의의 값을 산정한 오답입니다.

10 [d B]

이득 여유 공식의 로그 계산 과정에서 진수의 역수를 취하거나 부호를 잘못 적용한 오답입니다.

이득 여유가 음수(-20dB)로 나왔는데, 이는 어떤 의미인가요?

이득 여유가 음수라는 것은 해당 제어계가 현재 불안정 상태에 있음을 의미합니다. 시스템이 안정하기 위해서는 이득 여유가 양수 값을 가져야 합니다.

루스 배열에서 임계 이득을 구할 때 왜 s^1 행을 0으로 만드나요?

루스 배열의 특정 행이 모두 0이 되면 특성 방정식의 근이 허수축 상에 존재하게 되어 시스템이 임계 안정(Marginally Stable) 상태가 되기 때문입니다. 이를 통해 시스템이 불안정해지기 직전의 임계 이득 값을 구할 수 있습니다.