상태공간해석

전기기사 필기 2008년 2회 75번

Q문제

어떤 제어계의 전달함수가

G (s) = \frac{2 s + 1}{s ^{2} + s + 1}

로 표시될 때, 이 계에 입력

x (t)

를 가했을 경우 출력

y (t)

를 구하는 미분방정식으로 알맞은 것은?

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} + \frac{d y}{d t} + y = 2 \frac{d y}{d x} + x

우변의 미분항이 입력 x(t)에 대한 시간 미분인 dx/dt가 아니라 dy/dx로 잘못 표기되었습니다.

\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} + \frac{d y}{d t} + y = 2 \frac{d x}{d t} + x

전달함수의 정의와 라플라스 역변환을 이용하여 미분방정식을 도출합니다.

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Step 1: 전달함수 G(s)는 모든 초기조건이 0일 때 출력 Y(s)와 입력 X(s)의 비로 정의되므로, G(s) = Y(s)/X(s) = (2s+1)/(s^2+s+1) 입니다.

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Step 2: 양변을 대각선으로 곱하여 분수 형태를 없애면, Y(s)(s^2+s+1) = X(s)(2s+1) 이 되고, 이를 전개하면 s^2Y(s) + sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + X(s) 가 됩니다.

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Step 3: 양변을 라플라스 역변환합니다. 라플라스 변환의 미분 정리에 따라 s^n은 시간 영역에서 n계 미분항(d^n/dt^n)으로 변환되므로, 최종 미분방정식은 d^2y/dt^2 + dy/dt + y = 2(dx/dt) + x 가 됩니다.

\frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} + \frac{d y}{d t} + y = 2 \frac{d x}{d t} + x

좌변의 최고차 미분항이 출력 y(t)에 대한 미분인 d^2y/dt^2가 아니라 입력 x(t)에 대한 미분인 d^2x/dt^2로 잘못 표기되었습니다.

\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} + \frac{d y}{d x} + y = 2 \frac{d x}{d t} + x

좌변의 1계 미분항이 시간 미분인 dy/dt가 아니라 dy/dx로 잘못 표기되었습니다.

전달함수에서 미분방정식으로 변환할 때 s는 어떻게 처리하나요?

라플라스 변환의 미분 정리에 따라, 초기조건이 0일 때 복소변수 s를 곱하는 것은 시간 영역에서 시간에 대한 1계 미분(d/dt)을 수행하는 것과 같습니다. 따라서 s^2은 2계 미분(d^2/dt^2)으로 변환됩니다.

전달함수의 정확한 정의는 무엇인가요?

선형 시불변 시스템에서 모든 초기조건을 0으로 가정했을 때, 입력 신호의 라플라스 변환에 대한 출력 신호의 라플라스 변환의 비를 의미합니다.