교류회로

전기기사 필기 2013년 2회 72번

Q: 부하가 저항과 리액턴스를 모두 포함하는 복소 임피던스라면 최대 전력 전달 조건은 어떻게 되나요?

부하가 복소 임피던스($Z_L = R_L + jX_L$)인 경우, 최대 전력 전달 조건은 부하 임피던스가 전원의 내부 임피던스와 공액 복소수 관계일 때($Z_L = Z_s^*$, 즉 $R_L = R, X_L = -X$)입니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 회로이론
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

전원의 내부 임피던스가 순저항

R

과 리액턴스

X

로 구성되고 외부에 부하저항

R_{L}

을 연결하여 최대전력을 전달하려면

R_{L}

의 값은?

유사 문제 링크

2008-2-q70 2014-3-q72 2014-3-q65 2005-3-q65 2005-3-q63

선택지 분석

R_{L} = R^{2} + X^{2}

정답 상세 해설

부하가 순저항일 때 최대 전력이 전달되기 위한 조건은 부하 저항의 크기가 전원의 내부 임피던스의 크기(절대값)와 같을 때입니다.

•

Step 1: 회로의 전류

I

를 구합니다. 전압을

V

라고 할 때,

I = \frac{V}{( R + R _{L} ) ^{2} + X ^{2}}

입니다.

•

Step 2: 부하 저항

R_{L}

에서 소비되는 전력

P

를 구합니다.

P = I^{2} R_{L} = \frac{V ^{2} R _{L}}{( R + R _{L} ) ^{2} + X ^{2}}

입니다.

•

Step 3: 전력

P

가 최대가 되기 위해

R_{L}

에 대해 미분한 값이 0이 되는 조건을 찾습니다.

\frac{d P}{d R _{L}} = V^{2} \frac{( R + R _{L} ) ^{2} + X ^{2} - 2 R _{L} ( R + R _{L} )}{(( R + R _{L} ) ^{2} + X ^{2} ) ^{2}} = 0

입니다.

•

Step 4: 분자가 0이 되어야 하므로

R^{2} + 2 R R_{L} + R_{L}^{2} + X^{2} - 2 R R_{L} - 2 R_{L}^{2} = 0

을 정리하면

R^{2} + X^{2} - R_{L}^{2} = 0

이 됩니다.

•

Step 5: 따라서

R_{L}^{2} = R^{2} + X^{2}

이며,

R_{L} = R^{2} + X^{2}

일 때 최대 전력이 전달됩니다.

R_{L} = R^{2} - X^{2}

오답 함정 분석

내부 임피던스의 크기를 구하는 공식에서 부호가 잘못된 오답입니다.

R_{L} = R

오답 함정 분석

내부 임피던스에 리액턴스 성분이 없을 때(직류 회로 등) 성립하는 조건으로, 본 문제에서는 오답입니다.

R_{L} = R + X

오답 함정 분석

저항과 리액턴스를 단순히 산술적으로 더한 값으로, 임피던스의 크기를 구하는 올바른 방법이 아닙니다.

자주 묻는 질문

부하가 저항과 리액턴스를 모두 포함하는 복소 임피던스라면 최대 전력 전달 조건은 어떻게 되나요?

부하가 복소 임피던스(

Z_{L} = R_{L} + j X_{L}

)인 경우, 최대 전력 전달 조건은 부하 임피던스가 전원의 내부 임피던스와 공액 복소수 관계일 때(

Z_{L} = Z_{s}^{*}

, 즉

R_{L} = R, X_{L} = - X

)입니다.

왜 부하가 순저항일 때는 공액 복소수 조건과 다른가요?

부하가 순저항만으로 제한되어 있으면 내부 임피던스의 리액턴스 성분을 상쇄할 수 없습니다. 따라서 전력 공식을 부하 저항에 대해 미분하여 최댓값을 구하면, 부하 저항의 크기가 내부 임피던스의 절대값 크기와 같을 때 최대 전력이 전달됨을 알 수 있습니다.

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