진공 중에 있는 대전 도체구의 표면전하밀도가 $\sigma[C/m^2]$ 전위가 $V[V]$일 때 도체 표면의 법선방향(바깥쪽)을 $n$이라 할 때 성립되는 관계식은?

$\frac{\partial V}{\partial n} = -\frac{\sigma}{\epsilon_0}$

$\frac{\partial V}{\partial n} = -\sigma$

$\frac{\partial V}{\partial n} = -\frac{\sigma}{\epsilon_0}$

$\frac{\partial V}{\partial n} = -\frac{2\sigma}{\epsilon_0}$

$\frac{\partial V}{\partial n} = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$

도체 표면의 전계가 $\frac{\sigma}{\epsilon_0}$인 이유는 무엇인가요?

도체 내부에는 전계가 존재하지 않으며, 가우스 정리를 도체 표면에 적용하면 폐곡면을 통과하는 전속은 표면 전하량과 같으므로 $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$가 도출됩니다.

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전위

전기기사 필기 2012년 3회 18번

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

진공 중에 있는 대전 도체구의 표면전하밀도가

σ [C / m^{2}]

전위가

V [V]

일 때 도체 표면의 법선방향(바깥쪽)을

n

이라 할 때 성립되는 관계식은?

유사 문제 링크

2012-3-q15 2017-3-q3 2011-2-q14 2011-3-q8 2016-2-q17

선택지 분석

\frac{\partial V}{\partial n} = - σ

오답 함정 분석

전계의 세기를 구할 때 진공의 유전율

ϵ_{0}

를 고려하지 않은 오답입니다.

\frac{\partial V}{\partial n} = - \frac{σ}{ϵ _{0}}

정답 상세 해설

도체 표면에서의 전위경도와 전계의 관계, 그리고 가우스 정리를 이용하여 도출할 수 있습니다.

•

Step 1: 전계와 전위의 관계식 전계

E

는 전위

V

의 기울기(경도)에 음의 부호를 붙인 것과 같습니다. 법선 방향

n

에 대하여

E = - \frac{\partial V}{\partial n}

이 성립합니다.

•

Step 2: 가우스 정리를 이용한 도체 표면의 전계 진공 중 대전 도체구 표면에서의 전계의 세기

E

는 가우스 정리에 의해

E = \frac{σ}{ϵ _{0}}

입니다.

•

Step 3: 관계식 도출 위의 두 식을 연립하면

- \frac{\partial V}{\partial n} = \frac{σ}{ϵ _{0}}

가 되며, 이를 정리하면

\frac{\partial V}{\partial n} = - \frac{σ}{ϵ _{0}}

입니다.

\frac{\partial V}{\partial n} = - \frac{2 σ}{ϵ _{0}}

오답 함정 분석

도체 표면의 전계 세기 공식에 불필요한 상수 2를 곱한 오답입니다.

\frac{\partial V}{\partial n} = - \frac{σ}{2 ϵ _{0}}

오답 함정 분석

무한 평면 전하 분포에 의한 전계의 세기(

E = \frac{σ}{2 ϵ _{0}}

) 공식을 잘못 적용한 오답입니다.

자주 묻는 질문

전위경도에 왜 마이너스(-) 부호가 붙나요?

전계는 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 향하기 때문입니다. 전위경도는 전위가 증가하는 방향을 양(+)으로 하므로, 전계의 방향과 반대가 되어 마이너스 부호가 붙습니다.

도체 표면의 전계가

\frac{σ}{ϵ _{0}}

인 이유는 무엇인가요?

도체 내부에는 전계가 존재하지 않으며, 가우스 정리를 도체 표면에 적용하면 폐곡면을 통과하는 전속은 표면 전하량과 같으므로

E = \frac{σ}{ϵ _{0}}

가 도출됩니다.

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